坐标系与参数方程强化训练-2023届高考数学二轮专题

冲刺2023年高考二轮 坐标系与参数方程强化训练 （原卷+答案） 考点一　极坐标方程的应用——“极”“直”要统一，“ρ”“θ”用意义 1．极坐标与直角坐标的互化 设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立： 顺便指出，上式对ρ<0也成立．(一般认为ρ≥0) 这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 2．圆的极坐标方程 (1)圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R. (2)圆心在极轴上的点(a，0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ. (3)圆心在点处且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ. 例 1 在直角坐标系xOy中，⊙C1的圆心为C1(1，1)，半径为.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)求C1的极坐标方程，判断C1，C2的位置关系； (2)求经过曲线 对点训练 在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2，1)，半径为1. (1)写出⊙C的一个参数方程； (2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． 考点二　参数方程的应用——引“参”用其意义，消“参”化为坐标 1．直线的参数方程 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t是参数)． 设P是直线上的任意一点，则|t|表示有向线段的长度． 2．圆的参数方程 圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)． 3．椭圆的参数方程 椭圆＝1(a>b>0)的参数方程为(θ为参数)． 例 2在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的参数方程为(s为参数)． (1)写出C1的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cos θ－sin θ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标． 对点训练 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin ＋m＝0. (1)写出l的直角坐标方程； (2)若l与C有公共点，求m的取值范围． 考点三　参数方程、极坐标方程的综合应用——二者统一，坐标为本 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等． 例 3 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数，α为常数且α≠)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ－4＝0. (1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程； (2)点P(1，1)，直线l与曲线C交于A，B两点，若＝2，求直线l的斜率． 对点训练 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(其中α为直线的倾斜角，t为参数)，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0. (1)当直线l的斜率k＝2时，求曲线C上的点A与直线l上的点B间的最小距离； (2)如果直线l与曲线C有两个不同交点，求直线l的斜率k的取值范围． 参考答案 考点一 [例1]　解析：(1)由题意，⊙C1的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2－2x－2y＝0，故C1的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，即ρ＝2cos θ＋2sin θ，又⊙C2的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x，(x－)2＋y2＝2.因为C1C2＝ ＝ ， C1，C2半径相等，半径和为2，且C1C2＝ <＝2<2，故C1，C2相交． 故C1的极坐标方程ρ＝2cos θ＋2sin θ，C1，C2相交． (2)由(1)C1：ρ＝2cos θ＋2sin θ，C2：ρ＝2cos θ均经过极点且相交，联立有2cos θ＋2sin θ＝2cos θ，显然cos θ≠0，故2＋2tan θ＝2，即tan θ＝－1，即经过曲线C1，C2交点的直线的斜率为－1. 对点训练 解析：(1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1， 则⊙C的参数方程为(α为参数)． (2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k(x－4)， 即kx－y＋1－4k＝0， 所以＝1，解得k＝±， 则这两条切线方程分别为y＝x－＋1，y＝－x＋＋1， 故这两条切线的极坐标方程分别为ρsin θ＝ρcos θ－＋1，ρsin θ＝－ρcos θ＋＋1. 即ρcos θ－ρsin θ－4＋＝0，ρcos θ＋ρsin θ－4－＝0. 考点二 [例2]　解析：(1