精品解析：湖北省部分重点中学2022-2023学年高二上学期1月期末联考数学试题

2023年1月湖北省部分重点中学高二期末联合检测 数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）． A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 3. 袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“灵､秀､湖､北”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“湖”､“北”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用分别代表“灵､秀､湖､北”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数： 由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四面体OABC中，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则经点反射后的反射光线必过点（ ） A. B. C. D. 7. 已知点分别是双曲线的左右两焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若是以为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，表示数列的前n项和．则使不等式成立的最小正整数n的值是（提示） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 等差数列的前项和为，当首项和公差变化时，是一个定值，则下列各项中也为定值的是（ ） A. B. C. D. 10. 设分别是双曲线的左､右焦点，且焦距为2，则下列结论正确的有（ ） A. B. 当时，的离心率是 C. 取值范围是 D. 到渐近线的距离随着的增大而增大 11. 如图，设是正方体底面内一动点，若直线与直线所成角为，则动点的轨迹可能为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程是 B. 过点向圆引切线，两条切线的夹角为 C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，则该直线斜率为 D. 过直线上动点向圆引切线，切点为，则直线过定点 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 13. 在方向上的投影向量的坐标为__________． 14. 一个机器人一秒前进一步或后退一步，程序员设计的程序是让机器人以“先前进3步，再后退2步”的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正方向在数轴上移动（1步的距离就是1个单位长度），令表示第秒机器人所在的点对应的实数，记，则__________． 15. 2022年11月30日，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．若执行下次任务3名航天员需要在3名女性航天员和3名男性航天员中选择，则选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的概率为__________． 16. 设点是椭圆上动点，点是直线上的动点，则的最小值是__________． 四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知圆的圆心在直线上，圆经过点并与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得的弦长为，求的值． 18. 已知数列满足，． （1）记，求证：数列为等比数列； （2）求数列的前20项和． 19. 如图，已知边长为6的菱形与相交于，将菱形沿对角线折起，使． （1）求平面与平面的夹角的余弦值； （2）在三棱锥中，设点是上的一个动点，试确定点的位置，使得． 20. 甲、乙、丙