2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合

2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合 一、综合题 1．如图，以 为直径作 ，过点A作 的切线 ，连接 ，交 于点D，点E是 边的中点，连结 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长． 2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径，过点C作CE⊥BD，垂足为E． （1）求证：∠BAC＝∠BCE； （2）若∠BAC＝60°，CE＝3，求BD的长． 3．如图， 是 的外接圆， 是 的直径， ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，垂足为 交 于点 ，求 的长． 4．如图， 为 的直径，点C在 上，过点C作 的切线 ，过点A作 于点D，交 的延长线于点E． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长． 5．如图，在 中， ，以 为直径作 ，点 为 上一点，过 作 交 于 ，交过点 的切线于 点. （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的值. 6．如图，PA、PB与⊙O相切于点A、B，过点B作BD AP交⊙O于点D. （1）求证：AD＝AB； （2）若 ，求△ABP的面积. 7．如图， 、 为 的切线，A、B为切点，点C为半圆弧的中点，连 交 于E点. （1）求证： ； （2）若 ，求 的值. 8．如图，在菱形ABCD中，P为对角线AC上一点，AB与经过A、P、D三点的⊙O相切于点A. （1）求证：AP＝DP； （2）若AC＝8，tan∠BAC＝ ，求⊙O的半径. 9．如图， 为半圆 的直径， 为半圆 上一点，连接 ， ，过点 作 于点 ，过点 作半圆 的切线，交 的延长线于点 ，连接 并延长，交 于点 . （1）求证： ； （2）若半圆 的直径为5， ，求 的长. 10．△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于D，交BC于E（BE＞EC），过点D作⊙O的切线DF，交AB的延长线于F. （1）求证：DF∥BC； （2）连接OF，若tan∠BAC＝ ，BD＝ ，DF＝8，求OF的长. 11．如图，以 为直径作半圆O，C是半圆上一点， 的平分线交 于点E，D为 延长线上一点，且 . （1）求证： 为 的切线； （2）若 ，求 的长. 12．如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE=EF， （1）求证：∠C=90°； （2）当BC=3，sinA= 时，求AF的长. 13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是 的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F. （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若DH＝9，sinC＝ ，求直径AB的长. 14．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠A＝∠BCD. （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝10，tan∠BCE＝，求BD的长. 15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，交AB于点F，CE＝BC.连接EF交AD于点G. （1）求证：CE是⊙O的切线. （2）若CD＝2，BD＝，求⊙O的半径，EG的长. 16．如图，已知 ， ，以 为直径作 ，交 于点D，过D点作 的切线交边 于点C，交 的延长线于点P． （1）求证： ； （2）如果 ，求 的长． 17．如图，在Rt 中， ，以斜边 上的中线 为直径作⊙O，与 交于点M，与 的另一个交点为E，过点M作⊙O的切线 交 于点N． （1）求证： ； （2）若⊙O的直径为5， ，求 的长． 18．如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，连接 ， 是以 为斜边的直角三角形，且满足 ， （1）求证： 为 的切线； （2）求证： ； （3）若 ，求 的长 19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是 上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC. （1）求证：∠CGF＝∠AGD. （2）已知∠DGF＝120°，AB＝4. ①求CD的长. ②若 ，求△ADG与△AFD的面积之比. 20．如图，AC为⊙O的直径，AB＝BD，BD交AC于F，BE//AD交AC的延长线于E点. （1）求证：BE为⊙O的切线； （2）若AF＝4CF，求tan∠E.