精品解析：上海市建平中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题

建平中学2022学年第一学期期末考试 高二数学学科 一､填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 半径为1的球的表面积为________. 2. 抛物线的准线方程为__________. 3. 双曲线的渐近线方程为___________． 4. 已知圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的母线长为___________. 5. 在正三棱锥中，异面直线PA与BC所成角大小为_____. 6. 已知，，则___________. 7. 以为焦点的椭圆上有一动点M，则的最大值为___________. 8. 抛物线C上任意一点都满足，则抛物线C的焦点到准线的距离为___________. 9. 在正四棱柱中，，，则点A到平面的距离为_____. 10. 用与圆柱底面所成的二面角大小为的平面截圆柱，截面图形为一个椭圆（或其一部分），则当时，该椭圆的离心率为___________. 11. 已知正方体的棱长为1，点E为棱的中点，正方体表面上一动点P满足且，则直线DP与平面ABCD所成角的大小为____. 12. 记双曲线的一支，曲线和直线所围成的封闭图形为，将绕着直线旋转一周所形成的几何体记作，试利用祖暅原理､一个圆柱和一个圆锥，得出的体积值为___________. 二､选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知三条直线，，满足且，则与（ ） A 平行 B. 垂直 C. 共面 D. 异面 14. 设为直线一个方向向量，为平面的一个法向量，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C 充要条件 D. 非充分非必要条件 15. 用一个平面截正方体，截面图形可能是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角梯形 C. 有两个内角相等的五边形 D. 正七边形 16. 已知平面上三点，，，若动点P满足，有以下两个命题：①三角形APB面积的最大值为1；②，则（ ） A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 三､解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知圆和圆. （1）证明：圆和相交； （2）求圆和公共弦所在的直线方程. 18. 如图,在正四棱锥中,. （1）求侧棱与底面ABCD所成角的大小; （2）求二面角的大小. 19. 对于精美的礼物，通常人们会用包装纸把礼物包好，还会用彩带捆扎包装好的礼物，有时还会扎出一个花结.这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观､结实，也要考虑尽量地节省包装彩带.以长方体的礼物为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示. “十字”捆扎 “对角”捆扎 假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2､高为1；假设2：不考虑花结处彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上. （1）求“十字”捆扎中彩带的总长度； （2）根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议. 20. 已知双曲线，设其左､右顶点分别为A，B，中心为O. （1）求双曲线的焦距和虚轴长； （2）斜率为的直线交双曲线于C，D两点，且，求弦长； （3）设双曲线右支上两点M，N满足直线AM与BN在y轴上的截距之比为1∶3，判断直线MN是否过定点，并说明理由. 21. 已知椭圆的左､右焦点分别为和,经过点且斜率为k的直线l交椭圆于B,C两点,其中点C在第二象限.如图所示,将的上半部分（半椭圆）沿着长轴翻折使得点C翻折至点A且二面角为直二面角.设三角形和三角形的周长分别为和. （1）证明:; （2）若,求异面直线和所成角的大小; （3）若,求k的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平中学2022学年第一学期期末考试 高二数学学科 一､填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 半径为1的球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由球的表面积公式即可得到答案. 【详解】, , ， 故答案为: 【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题. 2. 抛物线的准线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程. 【详解】抛物线的准线方程是. 故答案为：. 3. 双曲线的