专题17.17 换元法解一元二次方程（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）

专题17.17 换元法解一元二次方程 （巩固篇）（专项练习） 一、单选题 1．用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是(　　　) A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0 2．已知实数x，y满足且，则的值为（    ） A． B． C． D．2 3．已知实数x满足，则的值为（    ） A．6 B． C．或6 D．1或 4．方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（    ） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程有一根为2020，则方程必有根为（    ） A．2021 B．2020 C．2019 D．2015 6．已知方程x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0的解是（　　） A．x1=﹣1，x2=﹣3.5 B．x1=1，x2=﹣3.5 C．x1=1，x2=3.5 D．x1=﹣1，x2=3.5 7．关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D． 8．若，则的值为（    ）． A． B． C． D．或 9．若x为实数，且x2＋＋3(x＋)＝2，则x＋的值为(     ) A．－4 B．4 C．－4或1 D．4或－1 10．如图，正方形内接于．已知和的面积分别是，和，，那么正方形的边长是（      ） A．1 B． C． D．2 二、填空题 11．已知，且．则的值是_________． 12．已知，则的值是___________． 13．已知实数满足方程，则____________． 14．若，则__________． 15．方程的解是_____． 16．解方程：，利用整体思想和换元法可设，则原方程可化为：___________ ；再求出原方程的解为___________； 17．设a,b是一个直角三角形两直角边的长,且(a2+b2-3)(a2+b2+1)=0,则这个直角三角形的斜边长为____. 18．已知和2是关于x的一元二次方程的两根，则关于x的方程的根为_______． 三、解答题 19．解方程：x2+2x﹣=1． 20．解方程： 21．阅读例题，解答问题： 例：解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成 解得，（不合题意，舍去）． ．． ∴原方程的解是， 请模仿上面的方法解方程：． 22．已知实数x满足，求的值． 23．＋－2－1＝0 24．【阅读】小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程（a、b、m为常数，）的解是，，求方程的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法． 解：在方程中令，则方程可变形为， 根据关于x的方程的解是，， 可得方程的解是，． 把代入得，，把代入得，， 所以方程的解是，． 【理解】 已知关于x的一元二次方程有两个实数根m，n． (1) 关于x的方程的两根分别是______（用含有m、n的代数式表示）； (2) 方程______的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可） (3) 【猜想与证明】 双察下表中每个方程的解的特点： 方程 方程的解 方程 方程的解 ， ， ， ， ， ， …… …… …… …… 猜想：方程的两个根与方程______的两个根互为倒数； (4) 仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想． 参考答案 1．A 【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解． 解：把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0． 故选：A． 【点拨】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 2．A 【分析】由可得，进而可得，解得或，然后再对进行变形即可解答． 解：∵，得， 即． ∴或． 即或． ∴，所以，． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了分式的化简求值、立方根、解一元二次方程等知识点，解题的关键是灵活应用相关定义和运算法则以及整体法来求解． 3．A 【分析】设x2+x＝t，则原方程化为t2﹣5t﹣6＝0，利用因式分解法解得t1＝6，t2＝﹣1，所以x2+x＝6或x2+x＝﹣1，然后利用x2+x≥－确定x2+x的值即可． 解：设x2+x＝t， 原方程化为t2﹣5t﹣6＝0， ∴(t﹣6) (t+1) ＝0， 解得t1＝6，t2＝﹣1， 即x2+x＝6或x2+x＝﹣1， ∵x2+x＝x2+x+－ ＝(x+) 2－≥－， ∴x2+x＝﹣1不符合题意，舍去， ∴x2+x＝6， 故选：A． 【点拨】本题考查了换元法解一元