第2章 平面向量及其应用 章末小结与质量评估（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1．在研究向量的模的运算及夹角运算时能利用公式计算的可以直接应用公式计算，不能直接应用公式的可以应用数形结合的思想进行计算、求解．在应用正弦定理或余弦定理解决实际问题时往往需要根据题意正确地画出图形，根据图形运算求解体现了数形结合的思想． 2．在解决向量的夹角问题，向量的平行、垂直关系的研究均可化归为它们对应向量或向量的坐标运算问题，三角形形状的判定可归结为判断向量的数量积与零的大小的关系问题．向量的数量积的性质：a·a＝a2＝|a|2作为桥梁，沟通了向量与实数间的转换关系．解题时，可根据问题要求选择将向量运算(向量的数量积)转化为实数运算(向量的模)或将实数运算化归为向量运算，体现了转化与化归思想． 3．向量中的一些知识：平行向量可以分为同向向量或反向向量；向量b在a方向上的投影值，随a与b的夹角不同有正数、负数或零等三种情形；用向量法推导正弦定理时，可以通过对锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情形的分别讨论而获得，用正、余弦定理求解的斜三角形分为四种类型以及对“已知两边和其中一边对角的三角形”型的解得情况的分析判断等都体现了分类讨论思想． 二、把握重点·常考题型集训 题型一　平面向量的线性运算　 1. 在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　) A.a＋b　　　　　　　 B．a＋b C.a－b D．a－b 解析：选A　＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋＝a＋b.故选A. 2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c＝(　　) A. B． C. D． 解析：选D　a－2b＋3c＝(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x，y)＝(5＋8＋3x，－2＋6＋3y)＝(13＋3x，4＋3y)＝0，所以所以 3．已知两个非零向量a，b互相垂直，若向量m＝4a＋5b与n＝2a＋λb共线，则实数λ的值为(　　) A．5 B．3 C. D．2 解析：选C　∵a，b是非零向量，且互相垂直， ∴4a＋5b≠0，m≠0. ∵m，n共线，∴n＝μm，即2a＋λb＝μ(4a＋5b)， ∴解得λ＝. 4.在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A. B．－ C．2 D．－2 解析：选B　因为点D在边BC上， 所以存在t∈R，使得＝t＝t(－)(0≤x≤1)． 因为M是线段AD的中点， 所以＝(＋)＝(－＋t－t) ＝－(t＋1)＋t. 又＝λ＋μ， 所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，所以λ＋μ＝－. 向量线性运算的基本原则和求解策略 (1)基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量．因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面． (2)求解策略 ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧． ②字符表示下的线性运算的常用技巧：首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝.　　 题型二　向量的数量积运算 1. 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：选A　 由四边形ABCD为平行四边形，知＝＋＝(3，－1)，故·＝(2,1)·(3，－1)＝5. 2．已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝＋，||＝||，则向量在向量上的投影向量为(　　) A. B． C．－ D．－ 解析：选A　由2＝＋知，O为BC的中点，根据题意作图， 因为O为△ABC的外接圆圆心， 所以OA＝OB＝OC， 因为||＝||，所以AB＝OB＝OA＝OC， 所以△AOB为正三角形，∠ABO＝60°， 所以在上的投影向量为＝. 3．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　) A. B． C. D． 解析：选D　∵|a＋b|＝|a－b|， ∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，∴a·b＝0. 又∵|a＋b|＝2|a|， ∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝4|a|2， ∴|b|2＝3|a|2. 设a＋b与a－b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝＝－. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 4. 已知a＝(－1,3)，b＝(1，t)，若(a－2b)⊥a，则|b|＝________. 解析：因为a＝(－1,3)，b＝(1，t)， 所以a－2b＝(－3，3－2t)． 因为(a－2b)⊥a，所以(a－2b)·a＝0， 即(－3)×(－1)＋3(3－2t)＝0，解得t＝2， 所