2.3.1向量的数乘运算（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

3．1　向量的数乘运算 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义． 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 重点难点 重点：向量的线性运算． 难点：理解向量的数乘运算及其几何意义. 1．向量的概念与表示 (1)定义：实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件： ①当λ＞0时，向量λa与向量a的方向相同；当λ＜0时，向量λa与向量a的方向相反；当λ＝0时，0a＝0. ②|λa|＝|λ||a|，这种运算称为向量的数乘． (2)λa几何意义： 当λ＞0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 当λ＜0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． (3)单位向量的表示 与非零向量a同方向的单位向量是，与非零向量a反方向的单位向量是－. 2．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μ a)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb； (4)特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 3．向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(线性组合)． (1)实数与向量数乘λa中，实数λ称为向量a的系数． (2)实数与向量的乘积仍是一个向量，它可以看成实数与实数的乘积的推广．但实数与向量不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无意义． (3)当λ＝0或a＝0时，均有λa＝0.反之，若λa＝0，则λ＝0或a＝0. 1．下列运算正确的个数是(　　) ①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a； ③(a＋2b)－(2b＋a)＝0. A．0　　 B．1　　　C．2　　 D．3 答案：C 2．若a＝－b(b≠0)，则(　　) A．a和b方向相同，|a|＝2|b| B．a和b方向相同，|b|＝2|a| C．a和b方向相反，|a|＝2|b| D．a和b方向相反，|b|＝2|a| 答案：D 3.a＋b＋a－4b等于(　　) A．2a＋3b　　　　　　 B．a－3b C．2a－3b D．2a－2b 答案：C 4．设a为任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是(　　) A．e＝ B．a＝|a|e C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e 答案：D ———————————————————————————————————— 向量数乘的概念 ———————————————————————————————————————— [典例]　(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题正确的是(　　) A．2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍 B．－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a模的倍 C．－2a与2a是一对相反向量 D．a－b与－(b－a)是一对相反向量 [解析]　A中，2a＝a＋a与a方向相同，且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|，故A正确；B中，－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，∵－a与a反方向，∴－2a与3a反方向，又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，∴－2a的模是3a模的倍，故B正确；C中，∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，∴－2a与2a是一对相反向量，故C正确；D中，∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－(b－a)与a－b是相等的，故D错误． [答案]　ABC 对数乘向量的四点说明 (1)λa的实数λ叫作向量a的系数． (2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小． (3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0. (4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量．　　 [对点训练] (多选)已知λ，μ∈R，则下列命题中正确的有(　　) A．λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反 B．λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同 C．λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同 D．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反 解析：选ABCD　由λ与向量a的积λa的方向规定，知A、B正确；对于C、D，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故C、D正确，故选A、B、C、D. ———————————————————————————————————— 向量的线性运算 ———————————————————————————————————————— [典例]　化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋