2.2.2 向量的减法（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

2．2　向量的减法 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算． 2.理解平面向量减法的几何意义． 重点难点 重点：向量减法的运算． 难点：理解向量减法的几何意义. 向量减法的定义及几何意义 定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b) 几何意义 如图，给定向量a与b，作有向线段＝a，＝b，故－b＝，则a－b＝a＋(－b)＝＋＝＋＝ ，即如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是a－b 1．对向量减法的三点说明 (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝，就可以把减法转化为加法． (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点． (3)向量减法满足三角形法则．在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． 2．向量减法的性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量，于是－00； (2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； (3)若a＋b＝0，则a＝－b，b＝－a. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量．(　　) (2)＝－.(　　) (3)a－b的相反向量是b－a.(　　) (4)|a－b|＜|a＋b|.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．在△ABC中，＝a，＝b，则＝(　　) A．|a＋b|　　 B．a－b　　　C．b－a　　 D．－a－b 答案：C 3．在平行四边形ABCD中，－＋＝(　　) A． B． C． D． 答案：A ———————————————————————————————————— 已知向量作差向量 ———————————————————————————————————————— [典例]　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [解]　法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量a，b，如图①所示，作＝a，＝b，利用向量减法的三角形法则可得a－b，利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量． (2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a－b.如图②所示，作＝a，＝b，＝－b，则＝a＋(－b)，即＝a－b.　　 [对点训练] 如图，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作向量a－b＋c. 解：连接BD，则＝a－b，作向量＝c，连接DE，则＝＋＝a－b＋c即为所求． ———————————————————————————————————— 向量的加减运算 ———————————————————————————————————————— [典例]　化简下列各式： (1)(＋)＋(－－)； (2)－－； (3)(－)－(－)． [解]　(1)法一：原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝. 法二：原式＝＋＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0. (2)法一：原式＝－＝. 法二：原式＝－(＋)＝－＝. (3)法一：(－)－(－)＝(＋)－(＋)＝－＝0. 法二：(－)－(－)＝(－)－(－)＝－＝0. 法三：在平面内任取一点O，则(－)－(－)＝(－)－(－)－[(－)－(－)]＝－－＋－＋＋－＝0. 化简向量式的方法 要先观察向量的表达形式，利用向量加、减法的运算律及相反向量的性质化为首尾相连且为和的形式或始点相同且为差的形式，从而达到化简的目的．具体来说，对于用有向线段表示的向量的加减运算有四点技巧： (1)加法：首尾连，起点到终点(＋＋＝)． (2)减法：共起点，连终点，指被减(－＝)． (3)化减为加(－＝＋)． (4)凑零法(相反向量的和为0)．　　 [对点训练] 化简：(1)－－＋＋； (2)(＋＋)－(－－)． 解：(1)－－＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝ . (2)(＋＋)－(－－)＝＋＋－＋＋＝(＋)＋(－)＋(＋)＝＋＋00. ———————————————————————————————————— 用已知向量表示未知向量 ———————————————————————————————————————— [典例]　如图，设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示，