2.2.1 向量的加法（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

2．1　向量的加法 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则． 2.理解平面向量加法的几何意义． 重点难点 重点：向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算． 难点：掌握向量加法的三角形法则及平行四边形法则. 1．向量加法的定义 求两个向量和的运算，称为向量的加法． 2．向量加法的两种法则 平行四边形法则 已知两个不共线的向量a，b，在平面内任取一点A，作有向线段＝a，＝b，以有向线段和为邻边作▱ABCD，则有向线段 表示的向量即为向量a与b的和，记作a＋b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则 三角形法则 作有向线段＝a，以有向线段的终点为起点，作有向线段＝b，连接A，C得到有向线段，也可以表示向量a与b的和．这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则 准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 (1)两个法则的使用条件不同：三角形法则适用于任意两个非零向量求和；平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和． (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的． (3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，在使用平行四边形法则时应注意“公共起点”． ———————————————————————————————————————— 3．向量加法的运算律 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 交换律 a＋b＝b＋a (1)向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立． (2)因为向量的加法满足交换律和结合律，所以多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合进行．如(a＋b)＋(c＋d)＝(a＋c)＋(b＋d)，a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量．(　　) (2)对于任意两个向量，都可利用平行四边形法则求出它们的和向量．(　　) (3)如果a，b是共线的非零向量，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同．(　　) (4)若a＋b＝0，则a＝0且b＝0.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于(　　) A．　　 B．　　　C．　　 D． 答案：D 3．(多选)下列等式成立的是(　　) A．0a　　　　　　　 B．a＋b＝b＋a C．＋＝2 D．＋＝ 答案：ABD ———————————————————————————————————— 已知向量求作和向量 ———————————————————————————————————————— [典例]　(1)如图甲所示，求作向量和a＋b； (2)如图乙所示，求作向量和a＋b＋c. 　 [解]　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示． (2)法一：三角形法则 如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 法二：平行四边形法则 如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝ ＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求． (1)应用向量加法的三角形法则要特别注意“首尾相接”，即将第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的向量即为两向量的和． (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和．在运用平行四边形法则时，首先要将两向量平移到一起，使它们的起点重合，再作平行四边形求和．　　 [对点训练] 如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c. 解：如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c即为所求． ———————————————————————————————————— 向量的加法运算 ———————————————————————————————————————— [典例]　化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋＋＋. [解]　(1)法一：＋＋＝(＋)＋＝＋＝0. 法二：＋＋＝(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝0. (2)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. 解决向量加法运算时应注意两点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活运用向量加法的运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.　　 [对点训练] 1．在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形ABCD一定是(　　) A．正方形　 B．菱形　　C．矩形　 D．平行四边形 解析：选D　由向量加法的三角形法则，得＝