2.1 从位移、速度、力到向量（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

　 §1　从位移、速度、力到向量 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景． 2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义． 3.理解平面向量的几何表示和基本要素． 重点难点 重点：向量的有关概念及向量的几何表示． 难点：向量概念的辨析. (一)向量的概念与表示 1．向量的概念 既有大小，又有方向的量叫作向量． 2．向量的表示 (1)有向线段：具有方向和长度的线段称为有向线段(如图)．以A为起点，B为终点的有向线段，记作 ，线段AB的长度称为有向线段的长度，记作 . (2)向量的几何表示：向量可以用有向线段表示，其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． (3)向量的符号表示：向量可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或，， ，…(书写)来表示． (4)向量的模：向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模． 3．两个特殊向量 名称 定义 表示方法 零向量 长度为0的向量称为零向量 0或 单位向量 模等于1个单位长度的向量叫作单位向量 (1)若用有向线段表示零向量，则其终点与起点重合． (2)要注意0与0的区别与联系：0是一个实数，0是一个向量，且有|0|0 . (3)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (4)在平面内，所有单位向量的起点平移到同一点，则它们的终点构成一个半径为1的圆． (5)向量的模能比较大小，但向量不能比较大小． 1．有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．其中，不是向量的个数是(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：选C　质量、路程、功只有大小，没有方向不是向量，而速度、力、加速度均是既有大小又有方向的物理量，故选C. 2.已知向量a，如图所示，下列说法不正确的是(　　) A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 解析：选D　终点是N而不是M. (二)向量的基本关系 1．相等向量 长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量．向量a与b相等，记作a＝b. 2.共线向量 共线(平行)向量 若两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量．a与b共线或平行，记作a∥b.零向量与任一向量共线 相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量．向量a的相反向量记作－a 规定零向量与任一向量共线，即对任意的向量a，都有0∥a.零向量的相反向量仍是零向量 3．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角． (2)夹角θ的大小与向量共线、垂直的关系： θ＝ (3)规定：零向量与任一向量垂直，即对于任意的向量a，有0⊥a. (1)向量共线有三种情形： ①共线且同向；②共线且反向；③有一个是零向量． (2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与向量的夹角，∠BAD才是向量与向量的夹角． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反．(　　) (2)向量与向量是两个平行向量．(　　) (3)单位向量都相等．(　　) 提示：(1)×　(2)√　(3)× 2.如图，在☉O中，向量，， 是(　　) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 解析：选C　，，的模均为圆的半径长，故相等． 3．在锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法正确的是(　　) A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是钝角 C．与的夹角是锐角 D．与的夹角是锐角 解析：选C　由两向量的夹角定义知，与的夹角的大小是180°－∠B，为钝角，故A错误； 与的夹角是∠A，为锐角，故B错误； 与的夹角与∠C的大小相等，为锐角，故C正确； 与的夹角的大小是180°－∠C，为钝角，故D错误． ———————————————————————————————————— 向量的概念与表示 ———————————————————————————————————————— [典例]　在如图所示的坐标线上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： 　　　 (1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°； (2)，使＝4，点B在点A正东； (3)，使＝6，点C在点B北偏东30°. [解]　(1)因为点A在点O北偏东45°方向上，且＝4，所以在坐标纸上点A距离O的横向小方格数与纵向小方格数相等，都为4，如图所示． (2)因为点B在点A正东方向，且＝4，所以在坐标纸上点B距离A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，如图所示． (3