1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

5．2　余弦函数的图象与性质再认识 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.借助图象理解余弦函数在[0,2π]上的性质． 2.掌握“五点法”画余弦函数图象的方法． 重点难点 重点：理解并掌握余弦函数、余弦函数的性质． 难点：余弦函数性质的应用. (一)余弦函数的图象 (1)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象叫作余弦曲线．图象如图所示(其作法同正弦函数)： (2)余弦函数y＝cos x的图象可以通过将正弦曲线y＝sin x向左平移个单位长度得到． (3)用五点(画图)法作余弦函数的图象，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝cos x的图象与y轴只有一个交点．(　　) (2)将余弦曲线向右平移个单位长度就得到正弦曲线．(　　) (3)余弦函数y＝cos x，x∈R的图象关于x轴对称．(　　) (4)正、余弦函数y＝sin x和y＝cos x的图象不超出直线y＝－1与y＝1所夹的区域．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．函数y＝－cos x，x∈[0,2π]的图象与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象(　　) A．关于x轴对称　　　 B．关于原点对称 C．关于原点和x轴对称 D．关于y轴对称 解析：选A　在同一平面直角坐标系中作出两函数的简图(图略)，易知A选项正确． (二)余弦函数性质的再认识 函数 y＝cos x 定义域 R 周期性 最小正周期2π 单调性 在区间[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z上单调递增；在区间[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z上单调递减 最大(小)值和值域 当x＝2kπ，k∈Z时余弦函数取得最大值1；当x＝(2k＋1)π，k∈Z时余弦函数取得最小值－1.余弦函数的值域是[－1,1] 奇偶性 余弦函数的图象关于y轴对称，是偶函数 (1)由于余弦曲线可以看作由正弦曲线向左平移个单位长度得到的，因此余弦函数的性质和正弦函数的性质非常相似．处理余弦函数的问题时注意类比正弦函数的研究方法． (2)余弦函数有单调区间，但它不是定义域上的单调函数，即余弦函数在整个定义域内不单调． (3)余弦函数图象的对称轴一定过余弦函数图象的最高点或最低点，即此时的余弦值取最大值或最小值． 1．y＝sin是(　　) A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数 解析：选D　因为y＝sin＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数． 2.函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有________个． 解析：作y＝cos x，x∈[0,2π]的图象及直线y＝－(图略)，可知两函数图象有2个交点． 答案：2 3．不等式cos x<0，x∈[0,2π]的解集为________． 答案： ———————————————————————————————————— “五点(画图)法”画余弦函数的图象 ———————————————————————————————————————— [典例]　 用“五点(画图)法”作出函数y＝1＋cos x在[0,2π]上的简图． [解]　列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 1＋cos x 2 1 0 1 2 描点连线，如图． “五点(画图)法”作图的步骤 作形如y＝acos x＋b，x∈[0,2π]的图象时，可由“五点(画图)法”作出，其步骤如下： (1)列表．取x＝0，，π，，2π； (2)描点； (3)连线．用光滑的曲线将各点连接成图．　　 [对点训练] 利用“五点(画图)法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图． 解：(1)列表如下. x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x －2 －1 0 －1 －2 (2)描点连线，如图所示． ———————————————————————————————————— 余弦函数图象的简单应用 ———————————————————————————————————————— [典例]　已知函数f(x)＝2cos x＋1，若f(x)的图象过点，则m＝________；若f(x)<0，则x的取值集合为________________． [解析]　当x＝时，f(x)＝2cos＋1＝1，∴m＝1. f(x)<0，即cos x<－， 作出y＝cos x在x∈[0,2π]上的图象，如图所示． 由图知x的取值集合为 . [答案]　1　 利用三角函数图象解三角不