1.5.1 正弦函数的图象与性质再认识（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

5．1 　正弦函数的图象与性质再认识 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.借助图象理解正弦函数在[0,2π]上的性质． 2.掌握“五点法”画正弦函数图象的方法． 重点难点 重点：正弦函数性质的应用． 难点：理解并掌握正弦函数的图象与性质. (一)正弦函数的图象 (1)正弦函数图象在平面直角坐标系中的作法 ①作单位圆，把⊙O 12等分(当然分得越细，图象越精确)； ②12等分后得到对应于0，，，，…，2π的角，并作出相应的正弦值； ③将x轴上从0到2π一段分成12等份； ④平移相应角的正弦值； ⑤描点，用光滑曲线顺次连接，就得到y＝sin x在区间[0,2π]上的图象(如图)． ⑥将函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向左向右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象． (2)正弦函数的图象称作正弦曲线． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限内的角越大，其正弦曲线越长．(　　) (2)正弦函数的图象向左、右两边无限延伸．(　　) (3)正弦函数是定义域上的增函数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．下列图象中，y＝－sin x在[0,2π]上的图象是(　　) 答案：D (二)正弦函数性质的再认识 函数 y＝sin x 定义域 R 周期性 最小正周期2π 单调性 在区间，k∈Z上都单调递增；在区间，k∈Z上都单调递减 最大(小)值和值域 当x＝2kπ＋，k∈Z时正弦函数取得最大值1；当x＝2kπ＋，k∈Z时正弦函数取得最小值－1.正弦函数值域是[－1,1] 奇偶性 正弦函数的图象关于原点对称，是奇函数 (1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． (2)正弦曲线是中心对称图形，其对称中心的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线与x轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)，对称轴垂直于x轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值． (3)判断正弦函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数． 1．函数f(x)＝xsin x(　　) A．是奇函数　　　　　　 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数 解析：选B　函数的定义域为R，且满足f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝x·sin x＝f(x)，所以f(x)＝xsin x是偶函数． 2．函数y＝4sin(2x＋π)的图象关于________对称． 解析：y＝4sin(2x＋π)＝－4sin 2x，易证函数为奇函数，所以其图象关于原点对称． 答案：原点 3．sin________sin(填“＞”或“＜”)． 解析：0＜<＜，由于函数y＝sin x在上为增函数，则sin<sin. 答案：< (三)五点(画图)法 在平面直角坐标系中描出五个关键点： (0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 然后再根据正弦函数的基本形状，用光滑曲线将这五个点连接起来，得到正弦函数在[0,2π]上的简图，这种画正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”． (1)在描点时，光滑的曲线是指经过最高点或最低点的连线要保持近似“圆弧”的形状，经过位于x轴上的点时要改变“圆弧的圆心位置”． (2)作图时自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，在x轴、y轴上统一单位，作出的图象正规，便于应用． (3)“五点(画图)法”作图的五个点，不一定是我们列出的那五个点，如x∈[－π，π]时的五点为(－π，0)，，(0,0)，，(π，0)． 1．点M在函数y＝sin x＋1的图象上，则b等于(　　) A.　　　　　　　　 B． C．2 D．3 解析：选C　将M的坐标代入函数式得b＝sin＋1＝2. 2．请补充完整下面用“五点(画图)法”作出y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象时的列表. x 0 ① 2π －sin x ② －1 0 ③ 0 ①________；②________；③________. 答案：①π　②0　③1 ———————————————————————————————————— “五点(画图)法”画正弦函数的图象及应用 ———————————————————————————————————————— [典例]　用“五点(画图)法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]的图象. [解]　(1)按五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 ＋sin x