1.4.4 诱导公式与旋转（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

4．4 　诱导公式与旋转 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义推导出诱导公式与旋转． 2.掌握诱导公式并能灵活运用，并能进行简单的三角函数式的化简、求值与证明． 重点难点 重点：诱导公式的应用． 难点：理解诱导公式与旋转. 1．诱导公式与旋转 (1)sin＝cos_α，cos＝－sin_α. (2)sin＝－cos_α，cos＝sin_α. 2．诱导公式 sin(2kπ＋α)＝sin_α(k∈Z) cos(2kπ＋α)＝cos_α(k∈Z) sin(－α)＝－sin_α cos(－α)＝cos_α sin(2π－α)＝－sin_α cos(2π－α)＝cos_α sin(π－α)＝sin_α cos(π－α)＝－cos_α sin(π＋α)＝－sin_α cos(π＋α)＝－cos_α sin＝cos_α cos＝－sin_α sin＝cos_α cos＝sin_α 3．诱导公式中角的关系 (1)对任意角α，α的终边与－α的终边关于直线 y＝x对称． (2)在推导角α与π－α正弦函数、余弦函数关系时，我们知道角α与π－α的终边是关于y轴对称的，因而π－＝＋α与－α的终边关于y轴对称，如图所示． 4．结论 当n取奇数1或3时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦函数；当n取偶数2或4k(k∈Z)时，公式的等号两边都是正弦函数或都是余弦函数，其符号由角所在的象限决定． 1．诱导公式的记忆方法 可概括为“奇变偶不变，符号看象限”： (1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数名而言的，正弦变余弦、余弦变正弦． (2)“奇”“偶”是对k·±α(k∈Z)中的整数k来讲的． (3)“象限”指k·±α(k∈Z)中，将α看成锐角时，k·±α(k∈Z)所在的象限，根据“一全正，二正弦，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号． 2．三角形中的诱导公式 在△ABC中，有以下结论． (1)sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C； (2)cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C； (3)sin＝sin＝cos ； (4)cos＝cos＝sin . 注意在三角形中，若sin A＝sin B或cos A＝cos B，均有A＝B成立． 1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos＝cos α.(　　) (2)sin＝－cos α.(　　) (3)若cos 10°＝a，则sin 100°＝a.(　　) (4)若α为第二象限角，则sin＝－cos α.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°＝(　　) A．a　　 B．－a　　　C．a2　　　D. 答案：A 3．已知sin＝，那么cos α＝________. 答案： ———————————————————————————————————— 利用诱导公式求值 ———————————————————————————————————————— [典例]　(1)sin 150°的值等于(　　) 　　 (2)已知sin＝，求cos的值． [解析]　(1)sin 150°＝sin(90°＋60°)＝cos 60°＝. [答案]　A (2)cos＝cos ＝sin＝. [拓展] 1．本例(2)中条件变为sin＝，问题不变，如何求解？ 解：∵＋＝，∴cos＝cos＝－sin＝－. 2．本例(2)条件不变，求cos的值． 解：cos＝cos ＝－sin＝－. 1．利用诱导公式化简、求值的策略 (1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用． (2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围． 2．常见的特殊角 在条件求值问题中，当已知中的角与结论中的角不同时，要注意这两个角的和或差与，π，，2π之间的关系，若存在关系，可利用诱导公式整体代换． 与有关的特殊角为与，与，与，与等． 与π有关的特殊角为与等．　　 [对点训练] 1．已知cos α＝，且α是第四象限角，则cos的值是(　　) A.　　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析：选A　因为cos α＝，且α是第四象限角，所以sin α＝－＝－，则cos＝－sin α＝. 2．已知sin φ＝，则cos＋sin(3π－φ)的值为________． 解析：∵sin φ＝，∴cos＝cos ＝cos＝cos＝sin φ＝， sin(3π－φ)＝sin(2π＋π－φ)＝sin(π－φ)＝sin φ＝， ∴cos＋sin(3π－φ)＝＋＝. 答案