1.4.3 诱导公式与对称（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

4．3 　诱导公式与对称 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.通过单位圆的对称性掌握角α与－α的正弦函数、余弦函数关系． 2.通过单位圆的对称性掌握角α与π±α的正弦函数、余弦函数关系． 3.能用诱导公式解决三角函数的求值、化简与证明问题． 重点难点 重点：诱导公式的应用． 难点：理解诱导公式与对称. 1．sin α，cos α与sin(－α)，cos(－α)的关系 如图，点P与P′关于x轴对称．sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α. 由此可知正弦函数v＝sin α是奇函数，余弦函数u＝cos α是偶函数． 2．sin α，cos α与sin(α±π)，cos(α±π)的关系 如图，点P与P′关于原点对称． sin(α＋π)＝－sin_α， cos(α＋π)＝－cos_α， sin(α－π)＝－sin_α， cos(α－π)＝－cos_α. 3．sin α，cos α与sin(π－α)，cos(π－α)的关系 如图，点P与P′关于y轴对称． sin(π－α)＝sin_α， cos(π－α)＝－cos_α， cos(α－π)＝－cos_α， sin(α－π)＝－sin_α. (1)诱导公式中α可以是任意角． (2)判断函数值的符号时，虽然把角α当作锐角，但实际上，对于正弦与余弦函数的诱导公式，角α可以为任意角． (3)诱导公式既可以用弧度制表示，也可以用角度制表示． 1．化简cos(3π－α)＝(　　) A．cos α　　　　　　　 B．－cos α C．sin α D．－sin α 解析：选B　cos(3π－α)＝cos[2π＋(π－α)]＝cos(π－α)＝－cos α. 2．计算：sin 210°＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：选D　sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－，故选D. 3．角与角的终边关于________对称． 答案：原点 ———————————————————————————————————— 对称的理解 ———————————————————————————————————————— [典例]　画出下列各角的终边与单位圆的交点，并说出它们的对称关系． (1)，；(2)，－； (3)－，；(4)－，. [解]　如图： (1)如图(1)，角与终边与单位圆的交点关于y轴对称． (2)如图(2)，角与－终边与单位圆的交点关于x轴对称． (3)如图(3)，角－与终边与单位圆的交点重合． (4)如图(4)，角－与终边与单位圆的交点关于原点对称． [方法技巧]　判断两角终边位置关系的步骤 建系 画单位圆，以原点为圆心作出单位圆 找角 利用终边相同的角的公式把角化大为小 判断 利用角的终边与单位圆交点的横、纵坐标间的关系判断两角终边间的位置关系 [对点训练] 角α的终边与单位圆交点坐标为，试写出角π－α，α＋π，－α，α－π的终边与单位圆交点的坐标． 解：由角α与π－α终边与单位圆的交点关于y轴对称，得角π－α终边与单位圆交点坐标为； 由角α与α＋π终边与单位圆的交点关于原点对称，得角α＋π终边与单位圆的交点坐标为； 由角α与－α终边关于x轴对称，得角－α终边与单位圆的交点坐标为； 由角α与α－π终边与单位圆的交点关于原点对称，得角α－π的终边与单位圆交点坐标为. ———————————————————————————————————— 给角求值 ———————————————————————————————————————— [典例]　求下列各三角函数值． (1)sin；(2)cos(－765°)． [解]　(1)sin＝sin＝sin＝sin＝－sin＝－. (2)cos(－765°)＝cos 765°＝cos(2×360°＋45°)＝cos 45°＝. [方法技巧]　利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 [对点训练] 1．sin 930°＝________，cos(－2 040°)＝________. 解析：sin 930°＝sin(5×180°＋30°)＝－sin 30°＝－； cos(－2 040°)＝cos 2 040°＝cos(5×360°＋240°) ＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝ －. 答案：－　－ 2．计算：sin－cos＝________. 解析：原式＝－sin－cos＝－sin－cos＝sin＋cos＝＋＝1. 答案：1 ———————————————————————————————————— 条件求值 ———————————————————————————————————————— [典例]　已知cos＝，求下列各式的值： (1)cos； (2)cos. [