1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

4．1 　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.借助单位圆理解正弦函数、余弦函数的定义． 2.会利用正弦函数、余弦函数的定义求值． 重点难点 重点：正弦函数、余弦函数的定义的应用． 难点：对正弦函数、余弦函数定义的理解. 1．锐角的正弦函数和余弦函数 对于每一个锐角α，都有唯一的坐标(u，v)与之对应，在弧度意义下，α∈，称v＝sin_α为锐角α的正弦函数，u＝cos_α为锐角α的余弦函数． 2．利用单位圆定义任意角的正弦函数和余弦函数 如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的． 把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值；把点P的横坐标u叫作角α的余弦值． 于是，在弧度意义下，对于α∈R，称v＝sin α为任意角α的正弦函数，u＝cos_α为任意角α的余弦函数． 3．用角的终边上的点的坐标表示正弦函数、余弦函数 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝，cos α＝，其中r＝. (1)对任意一个给定的角α，它只有唯一的一条终边，从而终边与单位圆只有唯一的交点，所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的． (2)根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到sin2α＋cos2α＝1. 1．若α的终边与x轴负半轴重合，则sin α＝_________，cos α＝_________. 解析：当α的终边与x轴负半轴重合时，角α的终边与单位圆的交点坐标为(－1,0)，故sin α＝0，cos α＝－1. 答案：0　－1　 2．已知角α终边经过点P(5,0)，则sin α＝_________，cos α＝________. 解析：∵x＝5，y＝0，∴r＝5，∴sin α＝＝0，cos α＝＝1. 答案：0　1 ———————————————————————————————————— 单位圆法求三角函数值 ———————————————————————————————————————— [典例]　在平面直角坐标系的单位圆中，α＝. (1)画出角α； (2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦函数值、余弦函数值． [解]　(1)因为α＝＝2π＋，所以角α的终边与角的终边相同．以原点为角的顶点，以x轴非负半轴为角的始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P，则角α如图所示． (2)由(1)知，点P在第二象限，且在角的终边上，所以点P的坐标为. (3)由(2)及正、余弦函数的定义可得sin＝，cos＝－. 单位圆法求三角函数的值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．　　 [对点训练] 1．角α终边与单位圆相交于点M，则cos2α＋sin2α的值为________． 解析：cos2α＝，sin2α＝，∴cos2α＋sin2α＝1. 答案：1 2．已知角α的终边与单位圆的交点为(y<0)，则sin α＝________. 解析：∵α的终边与单位圆的交点为，∴2＋y2＝1，即y2＝. 又∵y<0，∴y＝－. 由正弦函数的定义可知sin α＝－. 答案：－ ———————————————————————————————————— 已知角终边上的一点求值 ———————————————————————————————————————— 　 [典例]　若角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________. [解析]　r＝＝5|a|，①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，所以2sin α＋cos α＝－＝1. ②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝＝－，cos α＝＝.所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1. [答案]　－1 已知角的终边上一点求三角函数值的步骤 第一步，取点：在角α的终边上任取一点P(x，y)(P与原点不重合)； 第二步，计算r：r＝|OP|＝； 第三步，求值：由sin α＝，cos α＝求值． 在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．　　 [对点训练] 1．已知角α的终边上一点P0(－3，－4)，则sin α＝______，cos α＝________. 解析：因为点P0(－3，－4)在角α的终边上，所以x＝－3，y＝－4，则单位圆的半径r＝|OP0|＝＝5(O为坐标原点)， 则sin α＝＝－，cos α＝＝－. 答案：－　－ 2．已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ. 解：由题意知，r＝|OP|＝， 由余弦函数定义得，cos θ＝＝ . 又∵cos θ＝x，∴＝x. ∵x≠0，∴x＝±1. 当