1.3 弧度制（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§3　弧度制 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2.掌握弧度与角度的换算． 3.掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数． 重点难点 重点：弧度制的理解及应用． 难点：弧长公式及扇形公式的应用. (一)弧度概念 1．单位圆：半径为单位长度1的圆． 2．弧度制 (1)弧度 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其单位用符号rad表示，读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写)． (2)弧度制 在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数．这种以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制． 3．弧度数 (1)1弧度的角与1度的角所指含义不同，大小更不同． (2)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小与“半径”大小无关． (3)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写． 1．时针经过一小时，转过了________ rad. 答案：－ 2．你认为式子“α＝k·180°＋，k∈Z”正确吗？为什么？ 提示：不正确．同一个式子不能同时出现弧度制与角度制． 3．半圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？ 提示：180°，π. (二)弧度与角度的换算 1．角度与弧度的换算 2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值表 度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度数 度数 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度数 2π 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°＝________；(2)－15°＝________； (3)＝________；(4)－＝________. 解析：(1)20°＝20×＝.(2)－15°＝－15×＝－.(3)＝×＝105°.(4)－＝－×＝－396°. 答案：(1)　(2)－　(3)105°　(4)－396° (三)弧度制下的三个公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则 (1)弧度数公式：|α|＝. (2)弧长公式：l＝|α|r. (3)扇形面积公式：S＝lr＝|α|r2. 1．已知圆的半径为10，则60°的圆心角所对的弧长为(　　) A. B． C. D． 解析：选B　法一：设该圆心角为α，则α＝60°＝ rad.又r＝10，故l＝|α|·r＝. 法二：l＝＝＝. 2．已知半径为120 mm的圆上有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值为________． 解析：|α|＝＝＝1.2，即该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值为1.2. 答案：1.2 ———————————————————————————————————— 角度制与弧度制的换算 ———————————————————————————————————————— [典例]　(1)把－157°30′化成弧度为________，－化成度为________． (2)在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示) [解析]　(1)－157°30′＝－157.5°＝－× rad＝－ rad，－＝－×＝－75°. (2)因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)． 当k＝0时，θ＝72°＝；当k＝1时，θ＝432°＝， 所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有，. [答案]　(1)－　－75°　(2)， [方法技巧]　 角度制与弧度制互化的原则和方法 原则 牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝进行换算 方法 设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·；n°＝n· [对点训练] 将下列角度与弧度进行互化： (1)；(2)－；(3)10°； (4)－855°. 解：(1)＝×＝15 330°. (2)－＝－×＝－105°. (3)10°＝10×＝. (4)－855°＝－855×＝－. ———————————————————————————————————— 用弧度制表示有关的角 ———————————————————————————————————————— [典例]　将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π. (1)判断它是第几象限角． (2)在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合． [解]　(1)－1 125°＝－1 125×＝－ ＝－8π＋. 其中<<2π，因为是第四象限角，所以－1 125°是第四象限角． (2)依题