专题5.2 二次函数的几何变换（压轴题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题5.2 二次函数的几何变换 【典例1】已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0） （1）当a＝1时， ①抛物线C1的顶点坐标为 　 　． ②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为 　 　． （2）无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段EF（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和EF的长； （3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q，是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值：若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）①由题意可得抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，即可求解； ②设抛物线C2上任意一点（x，y），则点（x，y）关于x轴对称的点为（x，﹣y），将点（x，﹣y）代入y＝x2﹣2x﹣3即可求解； （2）由抛物线经过定点（2，﹣3），可得当m＝﹣3时，EF的长度不变； （3）设抛物线抛物线C3上任意一点（x，y），点（x，y）关于y＝﹣3的对称点为（x，﹣6﹣y），将点（x，﹣6﹣y）代入y＝ax2﹣2ax﹣3，可求抛物线C3的解析式为y＝﹣ax2+2ax﹣3，分别求出Q（1，a﹣3），P（1，﹣a﹣3），再由EF⊥PQ，EP＝PF，可得EF＝2＝PQ，求出a的值即可． 【解题过程】 解：（1）①∵a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点为（1，﹣4）， 故答案为：（1，﹣4）； ②设抛物线C2上任意一点（x，y）， 则点（x，y）关于x轴对称的点为（x，﹣y）， ∴﹣y＝x2﹣2x﹣3， ∴抛物线C2的解析式为y＝﹣x2+2x+3， 故答案为：y＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3＝ax（x﹣2）﹣3， ∴抛物线经过定点（2，﹣3）， ∴当m＝﹣3时，EF的长度不变， 当y＝﹣3时，ax2﹣2ax﹣3＝﹣3， 解得x＝0或x＝2， ∴E（0，﹣3），F（2，﹣3）， ∴EF＝2； （3）存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，理由如下： 设抛物线抛物线C3上任意一点（x，y）， ∴点（x，y）关于y＝﹣3的对称点为（x，﹣6﹣y）， ∴﹣6﹣y＝ax2﹣2ax﹣3， ∴抛物线C3的解析式为y＝﹣ax2+2ax﹣3， ∴Q（1，a﹣3）， ∵y＝ax2﹣2ax﹣3， ∴P（1，﹣a﹣3）， ∵EF⊥PQ， ∴EF与PQ为正方形的对角线， ∵E、F关于x＝1对称， ∴EP＝PF， ∴EF＝2＝PQ， ∴2＝|2a|， ∴a＝±1． 1．（2021秋•武昌区校级期末）将抛物线y＝x2向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式y＝x2﹣4x+2，则a、b的值是（　　） A．﹣2，﹣2 B．﹣2，2 C．2，﹣2 D．2，2 2．（2022•崂山区一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x＝﹣1，图象与x轴相交于点（1，0），则方程cx2+bx+a＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2 D．x1＝﹣1，x2 3．（2022•莱芜区一模）将抛物线y＝﹣（x+1）2的图象位于直线y＝﹣4以下的部分向上翻折，得到如图所示的图象，若直线y＝x+m与图象只有四个交点，则m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m＜1 B．1＜m C．﹣1＜m D．﹣1＜m 4．（2022•福州模拟）将抛物线y＝x2沿直线y＝3x方向移动个单位长度，若移动后抛物线的顶点在第一象限，则移动后抛物线的解析式是 　 　． 5．（2021秋•余姚市期末）平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这个点叫做“关联点”．现将二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为（1，2），则新抛物线的函数表达式为 　 　． 6．（2022•建邺区一模）如图，“爱心”图案是由函数y＝﹣x2+6的部分图象与其关于直线y＝x的对称图形组成．点A是直线y＝x上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是 　 　． 7．（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1． （1）求b+c的值． （2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值． （3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值． 8．（2021•渭南模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点M（0，﹣8），与x轴交于A、B（4，0）两点． （1）求抛物