专题6.5 二项式定理（重难点题型精讲）-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题6.5 二项式定理（重难点题型精讲） 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 =++++++.(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, ,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：=. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有(n+1)项. ②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. ③每一项中a和b的幂指数之和为n. 2．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为2=，第二行的三个数之和为4=，，第六行的各数之和为，， 第n行的(n+1)个数之和为. (2)二项式系数的性质 【题型1 求展开式的特定项或特定项的系数】 【方法点拨】 二项展开式的通项的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第k项；②求含(或)的 项；③求常数项；④求有理项.其中求有理项时，一般根据通项，找出未知数的指数，令其为整数，再根据 整数的整除性求解.另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以简化运算. 【例1】（2023·北京·高三专题练习）二项式的展开式中常数项为（    ） A．80 B． C． D．40 【变式1-1】（2023·广西桂林·一模）的展开式中的系数为（    ） A．40 B． C．80 D． 【变式1-2】（2022春·湖南邵阳·高二期末）的展开式中的常数项为-160，则a的值为（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【变式1-3】（2022·全国·模拟预测）展开式中第5项的系数是（    ） A． B． C． D． 【题型2 用赋值法求系数和问题】 【方法点拨】 赋值法是解决二项展开式中项的系数和问题的常用方法.根据题目要求，灵活赋值是解题的关键. 【例2】（2022秋·广西梧州·高三期中），则（    ） A．1 B．3 C．0 D． 【变式2-1】若，则的值为（    ） A．0 B．32 C．64 D．128 【变式2-2】（2022春·陕西延安·高二阶段练习）若，则的值是（ 　 ） A． B．127 C．128 D．129 【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知，设，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 多项式积的展开式中的特定项问题】 【方法点拨】 对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注 意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏. 【例3】（2023·湖南长沙·统考一模）的展开式中，常数项为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022·四川绵阳·校考二模）的展开式中含项的系数为（    ） A．10 B．12 C．4 D．5 【变式3-2】（2023·四川成都·统考二模）二项式展开式中的系数为（    ） A．120 B．135 C．140 D．100 【变式3-3】（2022秋·广西柳州·高三阶段练习）若 展开式中的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 求展开式中系数最大的项的方法】 【方法点拨】 由于展开式中各项的系数是离散型变量，因此， (1)在系数符号相同的前提下，求系数的最大(小)值，只需比较两组相邻两项系数的大小，根据通项正确地 列出不等式组即可. (2)当各项系数正负相间时，求系数的最大值应在系数都为正的各项系数间构造不等式组；求系数的最小值 应在系数都为负的各项系数间构造不等式组. 【例4】（2022春·江苏常州·高二期中）在的展开式中，系数绝对值最大项是（    ） A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项 【变式4-1】（2022·全国·高二假期作业）若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2022春·山东菏泽·高二阶段练习）已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（    ） A．二项展开式中各项系