第7章 随机变量及其分布 章末回顾与提升（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

[对应学生用书P61] 一、条件概率 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须清楚欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率． 一般地，计算条件概率常有两种方法： (1)P(B|A)＝；(2)P(B|A)＝. 在古典概型下，n(AB)指事件A与事件B同时发生的样本点个数；n(A)是指事件A发生的样本点个数． 在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率； (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率； (3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率． 解：设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB. 从5道题中不放回地依次抽取2道题包含的样本点数为n(Ω)＝A＝20. (1)n(A)＝A×A＝12，于是P(A)＝＝＝. (2)因为n(AB)＝A＝6， 所以P(AB)＝＝＝. (3)方法一　由(1)(2)可知，P(B|A)＝＝＝. 方法二　因为n(AB)＝6，n(A)＝12， 所以P(B|A)＝＝＝. [训练1] 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是(　　) A． B． C． D． C　解析：设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B.由题意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，所以两次都取到红球的概率为. [训练2] 抛掷5枚硬币，在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下，求恰好有3枚正面朝上的概率． 解：方法一　记“至少出现2枚正面朝上”为事件A，“恰好出现3枚正面朝上”为事件B，事件A包含的样本点的个数为n(A)＝C＋C＋C＋C＝26，事件B包含的样本点的个数为n(B)＝C＝10，P(B|A)＝＝＝＝. 方法二　P(A)＝＝，P(AB)＝P(B)＝＝， 故P(B|A)＝＝. 二、全概率公式 1．全概率公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai). 2．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)＞0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，…，n. 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%，35%，20%，各厂的产品的次品率分别为4%，2%，5%，现从中任取一件． (1)求取到的是次品的概率； (2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率． 解：记事件A1：“该产品是甲厂生产的”，事件A2：“该产品为乙厂生产的”，事件A3：“该产品为丙厂生产的”，事件B：“该产品是次品”． 由题设，知P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%， P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%. (1)由全概率公式得P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝45%×4%＋35%×2%＋20%×5%＝3.5%. (2)由贝叶斯公式得P(A1|B)＝＝＝. [训练3] 现有外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．若第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率． 解：设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}， R＝{第二次取出的球是红球}， 易得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，P(R|B)＝， 事件“试验成功”表示为RA∪RB，又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法公式得 P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)＝×＋×＝0.59. 三、离散型随机变量的分布列、均值与方差 1．离散型随机变量分布列表格形式的结构特征 分布列的结构为两行，第一行为随机变量所有可能取得的值；第二行为对应于随机变量取值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为事件发生的概率． 2．求离散型随机变量ξ的期望与方差的步骤 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1，2，2，3，3，3六个数字). (1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列． (2)若连续投掷10次，设