第6章 计数原理 章末回顾与提升（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

[对应学生用书P28] 一、两个计数原理 运用两个计数原理解决问题时应注意的问题 1．对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰． 2．当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步． 一蚂蚁沿着长方体的棱，从一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？ 解：从总体上看，蚂蚁从一个顶爬到相对的另一个顶点有三类方法，从局部上看每类又需两步完成，所以第一类m1＝1×2＝2(条)，第二类m2＝1×2＝2(条)，第三类m3＝1×2＝2(条)， 所以根据分类加法计数原理，从一个顶点到相对的另一个顶点最近路线共有M＝2＋2＋2＝6(条). [训练1] 一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是(　　) A．9 B．10 C．20 D．40 A　解析：利用第1种方法有C＝5种，利用第2种方法有C＝4种．故共有5＋4＝9种方法完成工作．故选A. [训练2] 在一个正六边形的六个区域涂色(如图)，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有(　　) A．720种 B．2 160种 C．4 100种 D．4 400种 C　解析：考虑A，C，E三个区域用同一种颜色，共有方法数为5×43＝320种； 考虑A，C，E三个区域用2种颜色，共有方法数为(5×4×3)×4×3×3＝2 160种； 考虑A，C，E三个区域用3种颜色，共有方法数为A×33＝1 620种． 所以共有方法数为320＋2 160＋1 620＝4 100种．故选C. 二、排列与组合 排列、组合应用题的解题策略 (1)在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么． (2)区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关． 一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人，问： (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？ 解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可能形成的学员上场方案有C＝12 376(种). (2)教练员可以分两步完成这件事件： 第一步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C种选法， 第二步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C种选法， ∴教练员做这件事情的方法数有C×C＝136 136(种). [训练3] 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有(　　) A．18对 B．24对 C．30对 D．36对 D　解析：三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线，共有12×3＝36对． [训练4] 如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D 4块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有________种．(用数字作答) 480　解析：从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有4种涂色方法．由分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×4＝480(种)涂色方法． 三、二项式定理的应用 二项式定理的问题类型及解答策略 1．确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可求出二项式中的有关元素． 2．确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项． 3．求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数． 4．求二项展开式中各项系数的和或差：赋值代入． 5．确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质求解． 已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11. (1)求x2的系数取得最小值时n的值； (2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)的展开式中x的奇次项的系数之和． 解：(1)由已知C＋2C＝11，得m＋2n＝11， x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)＝＋(11－m)·(－1)＝(m－)2＋.因为m∈N*， 所以当m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3. (2)由(1)知，当x