7.5 正态分布（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7．5　正态分布 课程标准 核心素养目标 1．通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量． 2．通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征． 3．了解正态分布的均值、方差及其含义． 1．理解正态分布概念．(数学抽象) 2．掌握正态分布的定义，会利用正态分布解决实际问题．(数学运算) 3．了解正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率．(数学抽象、数学建模) [对应学生用书P57] 1．正态分布 (2)正态密度曲线：正态密度函数的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． (3)正态分布： ①定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布； ②记作：X～N(μ，σ2)； ③特例：当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． [微练1]设X～N(10，0.64)，则D(X)等于(　　) A．0.8 B．0.64 C．0.642 D．6.4 B　解析：因为X～N(10，0.64)，所以D(X)＝0.64. 2．正态曲线的特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (2)曲线在x＝μ处达到峰值； (3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． μ，σ取值不同对正态曲线的影响 当参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移；当μ取定值时，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中，当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散． B　解析：当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝＝.无最小值． [微练3]已知正态总体落在区间(0.2，＋∞)上的概率是0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点． 0．2　解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称和在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2. 3．X～N(μ，σ2)在区间[μ－kσ，μ＋kσ]上的概率 (1)概率：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (2)3σ原则：通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值． [微练4]关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是________．(填序号) ①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件； ②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件； ③随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件； ④随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件． ④　解析：∵P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3，∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝1－0.997 3＝0.002 7，∴随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件． [对应学生用书P58] 知识点一 正态曲线及其性质 某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同 A　解析：由题图可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选A. 正态曲线的图象及性质特点，其具有两大明显特征：(1)对称轴方程x＝μ；(2)最值.这两点把握好了，参数μ，σ便确定了，代入即可求出相应的解析式． 设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 A　解析：从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ1<μ2，正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小，所以σ1<σ2，故选A. 知识点二 利用正态曲线求面积或概率 设随机变量X～N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1). (1)求c的值； (2)求曲线与x轴在区间[－1，5]内所围的面积； (3)求P(－4≤X≤8)的值． 解：由X～N(2，9)可知，μ＝2，σ＝3. (1)正态曲线关于直线x＝2对称(如图所示). 因为P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2， 所以c＝2. (2)根据正态曲线的对称性，所求面积为区间[μ，μ＋σ]对应的面积的2倍，即约为0.682 7. (3)P(－4≤