7.4.2 超几何分布（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7．4.2　超几何分布 课程标准 核心素养目标 1．理解超几何分布及其推导过程． 2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题． 1．结合教材实例，了解超几何分布的概念．(数学抽象) 2．会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率、均值．(数学运算) 3．了解超几何分布与二项分布的关系，能利用超几何分布概率模型解决实际问题．(数学建模) [对应学生用书P54] 1．超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r， 其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 超几何分布与二项分布的区别与联系 区别：一般地，超几何分布的模型是“取次品”，是不放回抽样，而二项分布的模型是“独立重复试验”，是有放回抽样． 联系：当次品的数量充分大，且抽取的数量较小时，即便是不放回抽样，也可视其为二项分布． [微练1]袋子中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，从袋子中任意取出3个，这3个都是红球的概率是(　　) A． B． C． D． B　解析：服从超几何分布，P＝＝. [微练2]从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________． 　解析：X＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X＝1)＝＝. 2．服从超几何分布的随机变量的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的次品率，于是E(X)＝np． [对应学生用书P54] 知识点一 超几何分布的辨析 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列； (2)有一批种子的发芽率为70%，任取10粒种子做发芽试验，把试验中发芽的种子粒数记为X，求X的分布列； (3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红球的个数记为X，求X的分布列； (4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列； (5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列． 解：(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题． (3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布． (5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题． 判断超几何分布时必须满足的两个条件 (1)总数为N件的物品只分为两类：M(M≤N)件甲类(或次品)，其余的(N－M)件为乙类(或正品). (2)随机变量X表示从N件物品中任取n(n≤N)件物品，其中所含甲类物品的件数． 知识点二 利用超几何分布求概率 袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球个数X的分布列，并求至少有1个红球的概率． 解：由已知可得从袋中任取3个球，为不放回抽取，X服从超几何分布，且N＝8，M＝3，n＝3. 故X的分布列为P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3). P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 由此可得下表： X 0 1 2 3 P 因此至少有1个红球的概率为 P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝. 超几何分布实际问题的求解步骤 (1)辨模型，结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分，具有该特征的概率模型为超几何分布模型． (2)算概率：直接借助公式P(X＝k)＝，应理解参数M，N，n，k的含义． (3)列分布列． 高二(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率． 解：若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X表示取到的红球数，则X服从超几何分布． 由公式得P(X＝4)＝＝≈0.029 5， 所以获一等奖的概率约为2.95%. 知识点三 两点分布、二项分布与超几何分布的区别 考向一：超几何分布的分布列与均值 某校选拔主持人，现有来自高一年级参赛选手4名，其中男生2名；高二年级参赛