7.4.1 二项分布（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7．4　二项分布与超几何分布 7．4.1　二项分布 课程标准 核心素养目标 1．通过具体实例，了解伯努利试验． 2．掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题． 1．通过具体实例，了解伯努利试验，了解二项分布的概念．(数学抽象) 2．会利用公式求服从二项分布的随机变量的概率、均值以及方差．(数学运算) 3．能利用二项分布概率模型解决简单的实际问题．(数学建模) [对应学生用书P49] 1．n重伯努利试验 (1)伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验． (2)定义：我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (3)特征：①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立． “重复”意味着各次试验成功的概率相同． 2．二项分布 (1)定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． (2)一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下： ①明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； ②确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； ③设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p). (3)二项分布的均值与方差：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． [微练1]判断正误 (1)依次投掷四枚质地不同的骰子，点数1出现2次的试验是4重伯努利试验．(　　) (2)若随机变量X～B(n，p)，则X＝1，2，…，n.(　　) (3)若随机变量X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)k.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× [微练2]某学生通过英语听力测试的概率为，他连续测试3次(每次测试互不影响)，那么其中恰有1次获得通过的概率是(　　) A． B． C． D． A　解析：记“恰有1次获得通过”为事件A，则P(A)＝C××(1－)2＝. [微练3]已知随机变量X服从二项分布，X～B(6，)，则P(X＝2)＝________． 　解析：P(X＝2)＝C×(1－)4×()2＝. [对应学生用书P50] 知识点一 n重伯努利试验 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果用分数表示) (1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． 解：(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1， 由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－()3＝. (2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则 P(A2)＝C×()2＝， P(B2)＝C×()×(1－)＝， 由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝×＝. [探究1]题目条件不变，求两人各射击2次，甲、乙均击中目标1次的概率． 解：记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝C××＝，P(B3)＝C××＝，所以甲、乙均击中目标1次的概率为 P(A3B3)＝P(A3)P(B3)＝×＝. [探究2]题目条件不变，求两人各射击两次，甲未击中、乙击中2次的概率． 解：记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4， 则P(A4)＝C(1－)2＝，P(B4)＝C()2＝， 所以甲未击中，乙击中目标2次的概率为 P(A4B4)＝P(A4)P(B4)＝×＝. 独立重复试验概率求法的三个步骤 (1)判断是否符合n重伯努利试验的特征； (2)求出一次试验的概率； (3)用n重伯努利试验的概率公式计算． 某篮球运动员在训练过程中，每次从罚球线罚球的命中率是，且每次罚球的结果相互独立．已知该名篮球运动员连续4次从罚球线罚球． (1)求他第1次罚球不中，后3次罚球都中的概率； (2)求他4次罚球恰好命中3次的概率． 解：(1)该篮球运动员第1次罚球不中，后3次罚球都中为事件A，则第i(i＝1，2，3，4)次罚球命中为事件Bi，则A＝B1B2B3B4； 因为每次罚球的结构相互独立，所以所求的概率为P(A)＝P(B1)P(B2)P(B3)P(B4)＝×××＝. (2)因为该名篮球运动员4次罚球恰好命中次数X是一个随机变量，且X～B(4，)， 所以所求的概率为P(X＝3)＝C×()3×＝. 知识点二 求服从二项分布的随机变量的分布列 某商场为了了解顾客的购物信息，在商场随机收