7.3.2 离散型随机变量的方差（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7．3.2　离散型随机变量的方差 课程标准 核心素养目标 1．通过具体实例，理解取有限个值的离散型随机变量的方差概念及性质． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 1．理解离散型随机变量的方差、标准差．(数学抽象) 2．会求离散型随机变量的方差、标准差．(数学运算) 3．会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题．(数学建模) [对应学生用书P46] 离散型随机变量的方差 (1)定义：设离散型随机变量X的分布列如下表所示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝_(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记作σ(X)． (2)意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． 对方差、标准差概念的几点说明 (1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的． (2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动、集中与离散程度． (3)D(X)越小，随机变量X的取值就越稳定，波动就越小． (4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 　(3)一个结论：D(X)＝ (xi－E(X))2pi＝xpi－(E(X))2． (4)性质：设a，b为常数，D(X＋b)＝D(X)，D(aX)＝a2D(X)，D(aX＋b)＝a2D(X)． [微练1]判断正误 (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　　) (2)若a是常数，则D(a)＝0.(　　) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ [微练2]已知随机变量X，D(X)＝，则X的标准差为________． 　解析：X的标准差＝＝. [微练3]有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________(填“甲”或“乙”)的质量较好． 乙　解析：因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量较稳定． [微练4]随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 P x y z 其中x，y，z成等差数列，若E(X)＝，则D(X)的值是________. 　解析：由题意得E(X)＝0×x＋1×y＋2×z＝y＋2z＝，x＋y＋z＝1，2y＝x＋z，∴x＝，y＝，z＝0，∴D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×0＝. [对应学生用书P47] 知识点一 求离散型随机变量的方差、标准差 编号为1，2，3的3名学生随意入座编号为1，2，3的3个座位，每名学生坐1个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ). 解：ξ的所有可能取值为0，1，3. ξ＝0表示3名学生全坐错，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生， 则P(ξ＝0)＝＝； ξ＝1表示3名学生中只有1名学生坐对位置， 则P(ξ＝1)＝＝； ξ＝3表示3名学生全坐对位置，即对号入座， 则P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 3 P 故E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1； D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1. 求离散型随机变量的方差的两个关注点 (1)写出离散型随机变量的分布列； (2)正确应用均值与方差的公式进行计算． 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n(n＝1，2，3，4)号的有n个．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号． 求X的分布列，均值和方差． 解：由题意，得X的所有可能取值为0，1，2，3，4，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5. D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. 知识点二 离散型随机变量方差的性质 已知随机变量η的分布列如下表： η 0 10 20 50 60 P (1)求η的方差和标准差． (2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y). 解：(1)由题意得 E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16