7.1.2 全概率公式（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7．1.2　全概率公式 课程标准 核心素养目标 1．结合古典概型，会利用全概率公式计算概率． 2．了解贝叶斯公式． 1．理解全概率公式，学会利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率．(数学抽象、数学运算) 2．灵活运用乘法公式与全概率公式解决问题．(数学建模、数学运算) [对应学生用书P34] 1．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)． 1．全概率公式的来由 不难由P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)看出：全概率P(B)被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于：在较复杂情况下直接计算P(B)不易，但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算． 2．另一个角度去理解全概率公式 (1)某一事件B的发生有各种可能的原因(i＝1，2，…，n)， 　如果B是由原因Ai所引起，那么事件B发生的概率是P(BAi)＝P(Ai)P(B|Ai). (2)每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式． (3)由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关．全概率公式表达了它们之间的关系． 2．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，…，n. [对应学生用书P35] 知识点一 利用全概率公式求概率 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，求从2号箱取出红球的概率． 解：设A表示最后从2号箱取出的是红球，B表示从1号箱取出的是红球，则 P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝； P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝； 所以P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝. 全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求结果发生的概率，解题步骤如下： (1)按照某种标准将条件事件分解为n个彼此互斥事件的并，将这n个事件分别命名为Ai(i＝1，2，…，n)； (2)命名目标的概率事件为事件B； (3)分别计算P(Ai)P(B|Ai)； (4)代入全概率公式求解． 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为1∶2，货车与客车中途停车修理的概率分别为0.002，0.001.求该公路上行驶的汽车停车修理的概率． 解：设B表示汽车中途停车修理，A1表示公路上经过的汽车是货车，A2表示公路上经过的汽车是客车， 则根据题意得P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.002，P(B|A2)＝0.001， 所以由全概率公式得：P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(B|A2)·P(A2)＝×0.002＋×0.001＝. 即该公路上行驶的汽车停车修理的概率为. 知识点二 贝叶斯公式的应用 三部自动的机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占40%，机器乙生产的占25%，机器丙生产的占35%，已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有10%、5%和1%不合格，现从总产品中随机地抽取一个零件，发现是次品，求： (1)它是由机器甲生产出来的概率； (2)它是由哪一部机器生产出来的可能性大． 解：设B1，B2，B3分别表示任取的零件为甲、乙、丙机器生产的， A表示抽取的零件是不合格品，由条件知， P(B1)＝0.40，P(B2)＝0.25，P(B3)＝0.35， P(A|B1)＝0.10，P(A|B2)＝0.05，P(A|B3)＝0.01. (1)所求概率为 P(B1|A)＝≈0.714. (2)类似(1)的计算可得P(B2|A)≈0.223， P(B3|A)≈0.063， 比较可知，该次品是机器甲生产出来的可能性大． 贝叶斯公式针对的是某一过程中已知结果发生求事件过程某个条件成立的概率，解题步骤如下： (1)按照某种标准将目标条件事件分解为n个彼此互斥事件的并，将这n个事件分别命名为Ai(i＝1，2，…，n)； (2)命名已知会发生的结果为事件B； (3)分别计算P(Ai)P(B|Ai)和P(B)； (4)代入贝叶斯公式P(Ai|B)＝(i＝1，2，…，n)求解． 已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症．随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？(设男子和女子的人数相等) 解：设A表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子，C表示抽到的人患有色盲症． 则P(A)＝P(B)＝0.5，P(C|A)