6.3.2 二项式系数的性质（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6．3.2　二项式系数的性质 课程标准 核心素养目标 1．掌握二项式系数的性质及其应用． 2．掌握“赋值法”并会灵活运用． 1．掌握二项式系数的性质．(逻辑推理、数学运算) 2．会求二项展开式中系数或二项式系数最大的项．(数学运算) 3．掌握“赋值法”并会灵活运用．(数学运算) [对应学生用书P25] 二项式系数的性质 (1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C. (2)增减性与最大值：当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减小； (3)二项式系数的和 ①C＋C＋C＋…＋C＝2n(n∈N*)； ②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1(n∈N*). [微练1]已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　) A．11 B．10 C．9 D．8 D　解析：因为只有第5项的二项式系数最大，所以＋1＝5，所以n＝8. [微练2](1－x)13的展开式中系数最小的项为(　　) A．第9项 B．第8项 C．第7项 D．第6项 B　解析：展开式中共有14项，中间两项(第7，8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项． [微练3]若(x2＋)n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________．(用数字作答) 5　10　解析：令x＝1，得2n＝32，即n＝5.则Tr＋1＝C·(x2)5－r·()r＝C·x10－5r.令10－5r＝0，得r＝2.故常数项为T3＝10. [对应学生用书P26] 知识点一 求展开式系数的和 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6. 解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.① 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.② (1)令x＝0，则a0＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)由(①－②)÷2，得 a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094. (3)由(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093. [探究1] 本例条件不变，求a6. 解：由展开式得a6为x6的系数， 由通项Tk＋1＝C(－2x)k知， 当k＝6时，a6为C×(－2)6＝448. [探究2] 本例条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|的值． 解：方法一　(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093＋1 094＝2 187. 方法二　∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187. “赋值法”的应用 “赋值法”是解决二项展开式中项的系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活给字母赋不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差． 已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4的系数是－35，求a1＋a2＋a3＋…＋a7的值． 解：因为展开式中x4的系数是－35，可得C(－m)3＝－35， ∴m＝1. ∵(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7， ∴a0＝(－m)7＝－1. ∴(x－1)7＝－1＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 令x＝1，得0＝－1＋a1＋a2＋…＋a7， 即a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1. 知识点二 求展开式中系数或二项式系数的最大项 在(－)8的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ 解：Tr＋1＝C·()8－r·(－)r＝(－1)r·C·2r·x4－. (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 故T5＝C·24·x4－＝1 120x－6. (2)设第r＋1项系数的绝对值最大， 则即 整理得所以r＝5或r＝6. 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． [探究1] 在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项． 解：由本例(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正． 故系数最大的项为T7＝C·26·x－11＝1 792x－11. 系数最小的项为T6＝(－1)5C·25x－