6.3.1 二项式定理（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6．3　二项式定理 6．3.1　二项式定理 课程标准 核心素养目标 1．能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的问题． 1．掌握二项式定理的正用和逆用．(逻辑推理、数学运算) 2．掌握求二项展开式中的特定项．(数学运算) 3．掌握三项或三项以上展开式有关的问题．(数学运算) [对应学生用书P22] 二项式定理及相关的概念 概念 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)称为二项式定理 二项式 系数 各项的系数C(r＝0，1，2，…，n)叫做展开式的二项式系数 二项式 通项 Can－rbr是展开式中的第r＋1项，可记为Tr＋1＝Can－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N*) 二项展 开式 Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*) 备注 在二项式定理中，若设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋Cxn(n∈N*) 1．二项展开式的特点 (1)展开式共有n＋1项． (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. (3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. 2．对通项公式的四点说明 (1)通项公式Tr＋1＝Can－rbr是(a＋b)n的展开式中第r＋1项，这里r＝0，1，…，n. (2)二项式(a＋b)n的第r＋1项Can－rbr和(b＋a)n的展开式的第r＋1项Cbn－rar是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b不能随便交换位置． [微练1]判断正误 (1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ [微练2](x＋1)n的展开式共有11项，则n等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 B　解析：由二项式定理的公式特征可知n＝10. [微练3]C·2n＋C·2n－1＋…＋C·2n－k＋…＋C＝(　　) A．2n B．2n－1 C．3n D．1 C　解析：原式＝(2＋1)n＝3n. [微练4]在(x－)10的展开式中，含x6项的系数是(　　) A．－27C B．27C C．－9C D．9C D　解析：含x6的项是T5＝Cx6·(－)4＝9Cx6. [对应学生用书P23] 知识点一 二项式定理的正用和逆用 (1)用二项式定理展开(2x－)5； (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 解：(1)方法一　(2x－)5 ＝C(2x)5＋C(2x)4·(－)＋C(2x)3(－)2＋C(2x)2(－)3＋C(2x)(－)4＋C(－)5 ＝32x5－120x2＋－＋－. 方法二　(2x－)5＝＝[C(4x3)5＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)3(－3)2＋C(4x3)2(－3)3＋C(4x3)(－3)4＋C(－3)5]＝(1 024x15－3 840x12 ＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－243) ＝32x5－120x2＋－＋－. (2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 应用二项式定理解题的技巧 1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点． 2．对于较复杂的二项式，有时可考虑先化简再展开． 3．对于化简多个式子的和的问题，可以考虑二项式定理的逆用．这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． (1)化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为(　　) A．x4 B．(x－1)4 C．(x＋1)4 D．x4－1 A　解析：(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C(x＋1)4＋C(x＋1)3(－1)1＋C(x＋1)2(－1)2＋C(x＋1)(－1)3＋C(x＋1)0(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4. (2)设n为自然数，化简C·2n－C·2n－1＋…＋(－1)k·C·2n－k＋…＋(－1)n·C＝________． 1　解析：原式＝C·2n·(－1)0＋C2n－1·(－1)1＋…＋(－1)k·C2n－k＋…＋(－1