6.2.4 第2课时 组合的应用（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第2课时　组合的应用 [对应学生用书P19] 知识点一 无限制条件的组合问题 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． 解：(1)从中任选5人是组合问题，共有C＝792种不同的选法． (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法． (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步： 先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法； 再从另外9人中选4人，有C种选法． 共有CC＝378种不同的选法． 解简单组合应用题的策略 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关； (2)要注意的两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用． 冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将6个不同的冰墩墩分配给甲乙丙丁4人，每人至少分配1个冰墩墩，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答) 1 560　解析：根据题意，有两种情况： ①有两个人各分得2个，两个人各分得1个． 可以先从6个冰墩墩中任选2个，组成一个小组，有C种选法，然后再从剩余4个冰墩墩中任选2个，组成一个小组，有C种选法； 然后连同两个冰墩墩，看成四个元素，四人看成四个不同的元素在四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有种． 根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有C×C×＝1 080种不同的分配方案； ②有一个人分得3个，其余三人各分得1个， 可以先从6个冰墩墩中任选3个，组成一个小组，有C种选法；然后连同其余三个冰墩墩，看成四个元素，四人看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法有4！种，根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有C×4！＝480种不同的分配方案． 综上，不同的分配方案共有1 080＋480＝1 560种． 知识点二 有限制条件的组合问题 医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？ 解：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90种抽调方法． (2)(直接法)按选取的外科专家的人数分类： ①选2名外科专家，共有CC种选法； ②选3名外科专家，共有CC种选法； ③选4名外科专家，共有CC种选法， 所以至少有2名外科专家的抽调方法共有CC＋CC＋CC＝185种． (3)至多有2名外科专家的抽调方法有C＋CC＋CC＝115种． 有限制条件的组合问题的分类及解题策略 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类： 一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数； 二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名．选派5人外出比赛，按下列要求求各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)至少有1名队长参加； (4)既要有队长，又要有女运动员． 解：(1)第一步：选3名男运动员，有C种选法． 第二步：选2名女运动员，有C种选法． 所以共有C·C＝120种选法． (2)方法一(直接法)　至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分类加法计数原理可得共有CC＋CC＋CC＋CC＝246种选法． 方法二(间接法)　“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解． 从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种． 所以“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246种． (3)方法一(直接法)　可分类求解． “只有男队长”的选法为C种； “只有女队长”的选法为C种； “男、女队长都入选”的选法为C种． 所以共有2C＋C＝196种选法． 方法二(间接法)　从10人中任选5人有C种选法， 其中不选队长的方法有C种，所以“至少有1名队长”的选法有C－C＝196种． (4)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法．不选女队长时，必选男队长，