6.2.4 第1课时 组合数与组合数公式（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6．2.4　组合数 第1课时　组合数与组合数公式 课程标准 核心素养目标 1．能利用计数原理推导组合数公式． 2．能利用组合数公式解决组合实际问题． 1．利用组合数的性质进行简单的数学运算．(数学运算) 2．会用组合知识解决一些简单的组合问题．(数学建模、逻辑推理、数学运算) [对应学生用书P17] 组合数与组合数公式 (1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． (2)组合数公式 C＝＝＝．其中n，m∈N*，并且m≤n. (3)组合数公式的性质 ①性质：C＝C，C＋C＝C. ②规定：C＝1. [微练1]C＝________，C＝________． 15　18　解析：C＝＝15，C＝C＝18. [微练2]C＝________． 190　解析：C＝C＝＝190. [微练3]C＋C＝________． 161 700　解析：C＋C＝C＝＝161 700. [微练4]从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． 20　解析：由组合数公式知C＝＝20. [对应学生用书P17] 知识点一 组合数公式及其简单应用 考向一：组合数公式的运用 (1)计算：C＋C·C. (2)若－<，求n的取值集合． 解：(1)原式＝C＋C×1＝＋ ＝56＋4 950＝5 006. (2)由－ ＜， 可得n2－11n－12<0，解得－1<n<12. 又n∈N*，且n≥5，所以n∈{5，6，7，8，9，10，11}． 关于组合数计算公式的选取技巧 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算． (3)计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算． 若C＝C，则x＝(　　) A．－1 B．4 C．－1或4 D．1或5 B　解析：由C＝C，得x－2＝2x－1或x－2＋2x－1＝9.解得x＝－1(不合题意，舍去)或x＝4. 考向二：组合数性质的应用 (1)计算C＋C＋C＋…＋C的值为(　　) A．C B．C C．C－1 D．C－1 (2)计算：C＋C＋C＋C＝________． (3)求证：C＝C＋2C＋C. (1)C　(2)210　解析：(1)原式＝C＋C＋C＋C＋…＋C－C＝C＋C＋…＋C－1＝…＝C＋C－1＝C－1. (2)原式＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝210. (3)证明：由组合数的性质C＝C＋C可知， 右边＝(C＋C)＋(C＋C)＝C＋C＝C＝左边， 右边＝左边，所以原式成立． 组合数公式C＝体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．组合数公式C＝的主要作用有： (1)计算m，n较大时的组合数； (2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明，特别地，当m>时计算C，用性质C＝C转化，减少计算量． 求值： (1)C＋C； (2)C－C＋C； (3)C＋C＋C＋…＋C. 解：(1)由组合数的公式的性质， 可得解得n＝6， ∴原式＝C＋C＝C＋C＝12＋19＝31. (2)原式＝C＋C－C＝C－C＝0. (3)∵C＝C， ∴原式＝C＋C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C ＝C＝165. 知识点二 简单的组合问题 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数， 即C＝＝45. (2)可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有C种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C种方法． 根据分类加法计数原理，共有C＋C＝15＋6＝21种不同的选法． (3)从6名男教师中选2名有C种选法，从4名女教师中选2名有C种选法，根据分步乘法计数原理，共有C×C＝15×6＝90(种)不同的选法． 解答简单的组合问题的思路 (1)弄清楚做的这件事是什么； (2)分析这件事是否需分类或分步完成； (3)结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果． 一个口袋里装有除颜色外完全相同的7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球． (1)共有多少种不同的取法？ (2)其中恰有1个红球，共有多少种不同的取法？ (3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？ 解：(1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是C＝C＝＝56. (2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有1个红球，可以分两步完成： 第1步，从7个白球中任取4个白球，有C种取法； 第2步，把1个红球取出，有C种取法．