6.2.3 组 合（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6．2.3　组　合 课程标准 核心素养目标 通过实例，理解组合的概念 1．了解组合的定义．(数学抽象) 2．能分析组合的意义，并能正确区分排列与组合．(数学抽象) 3．了解排列与组合的关系．(数学抽象) [对应学生用书P14] 组合的相关概念 (1)定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)两个组合相同的条件：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的． 　对组合概念的两点说明 (1)组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同元素中进行m次不放回地取出． (2)组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求． [微练1]判断正误 (1)组合与所选出的元素的排列顺序有关．(　　) (2)两个组合的元素相同，则这两个组合是相同的．(　　) (3)从六名学生中选三名学生参加元旦晚会演出，共有多少种选法，属于组合问题．(　　) (4)选两名同学担任班级的班长、团支书两个职位，属于组合问题．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× [微练2](多选)下面几个问题中属于组合问题的是(　　) A．由1，2，3，4构成的双元素集合 B．5个队进行单循环足球比赛的分组情况 C．由1，2，3构成两位数的方法 D．由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法 AB　解析：A，B取出元素与顺序无关，C，D取出元素与顺序有关． [微练3]6个朋友聚会，每两人握手1次，求握手的次数是________问题．(填“排列”或“组合”) 组合　解析：每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题． [对应学生用书P14] 知识点一 组合概念及其判断 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？ (2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (3)从10个人中选出3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人中选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？ 解：(1)因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，所以是组合问题； (2)因为甲队获得冠军、乙队获得亚军与乙队获得冠军、甲队获得亚军是不一样的，与顺序有关，所以是一个排列问题； (3)因为三个代表之间没有顺序的区别，所以这是一个组合问题； (4)因为三个人中，担任哪一科的科代表是有顺序区别的，所以这是一个排列问题． 区分排列与组合的方法是看事件是否有顺序，而区分事件有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，若对结果产生影响，即说明有顺序，是排列问题；若对结果没有影响，即说明无顺序，是组合问题． 判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？ (3)从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？ 解：(1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的顺序有关，是排列问题． (2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的顺序无关，是组合问题． (3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题． 知识点二 写出简单问题的所有或部分组合问题 已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合． 解：方法一　可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即 所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. 方法二　画出树形图，如图所示． 由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. (1)写出n个不同元素中选出m个元素的所有组合的两种方法： 从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助本例所示的“顺序后移法”(如方法一)或“树状图法”(如方法二)，直观地写出组合，做到不重复不遗漏． (2)两个注意点： 一是注意利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交换位置为ba，因为它们是同一组合． 二是画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏． 在A，B，C，D四位候选人中． (1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果； (2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果． 解：