6.2.2 排列数（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6．2.2　排列数 课程标准 核心素养目标 1．会用排列数公式进行求值和证明． 2．掌握一些排列问题的常用解决方法，能应用排列知识解决简单的实际问题． 1．掌握排列数公式的推导．(数学抽象) 2．能用排列数公式解决一些简单的实际问题．(逻辑推理、数学运算) [对应学生用书P10] 排列数与排列数公式 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 排列与排列数是两个不同的概念，“排列”是指从n个不同元素中取出m个元素按照一定顺序排成一列，是一种排法；“排列数”是指从n个不同元素中取出m个元素所得不同排列的个数，是一个数，用A表示．注意区分． (2)排列数公式：A＝n(n－1)…(n－m＋1)，其中n，m∈N*，并且m≤n. (3)全排列(阶乘) ①全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列． ②阶乘的概念：将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积．正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示． ③阶乘的相关应用： 规定：0！＝1. 排列数公式的阶乘式：A＝. 　排列数的两个公式 (1)第一个公式右边是若干数的连乘积，其特点是：第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数少1，最后一个因数为n－m＋1(下标－上标＋1)，共有m(上标)个连续自然数相乘． (2)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶乘式．它是一个分式的形式，分子是下标n的阶乘，分母是下标减上标即(n－m)的阶乘． (3)公式中的n，m应该满足n，m∈N*，m≤n，当m>n时不成立． [微练1]90×91×92×…×100可以表示为(　　) A．A B．A C．A D．A B　解析：由排列数公式得原式为A. [微练2]下列各式中与排列数A相等的是(　　) A． B．n(n－1)(n－2)…(n－m) C．A D．AA D　解析：因为A＝，AA＝＝＝，所以A＝AA. [微练3]将5本不同的课外读物分给5名同学，每人1本，则不同的分配方法有________种． 120　解析：由排列的概念可知，不同的分配方法有A＝120种． [对应学生用书P11] 知识点一 排列数公式及其简单应用 考向一：利用排列数公式求值或化简 (1)(多选)下列等式中，正确的是(　　) A．(n＋1)A＝A B．＝(n－2)! C．A＝A D．A＝A (2)已知a∈N*，且a<20，则(27－a)·(28－a)·(29－a)·…·(34－a)用排列数表示为(　　) A．A B．A C．A D．A (3)的值为(　　) A．3 B．30 C．24 D．12 (1)ABD　(2)D　(3)A　解析：(1)通过计算可知选项A，B，D均正确． (2)由已知34－a最大，且共有34－a－(27－a)＋1＝8个数的积，所以表示为A，故选D. (3)原式＝＝＝3.故选A. 排列数的计算方法 (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时需注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． (2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，最后计算，这样往往会减少运算量． 考向二：与排列数有关的方程、不等式与证明 (1)解方程：3A＝4A； (2)解不等式：A<6A. 解：(1)由排列数公式，得原方程可化为 3×＝4×， 化简得3＝，即x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 因为1≤x≤8，所以原方程的解是x＝6. (2)原不等式可转化为<6×. 化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12. 因为即2≤x≤8，且x∈N*，所以x＝8. [探究] 将本例(1)中的方程改为“A＝2A”呢？ 解：因为A＝2A， 所以2n(2n－1)(2n－2)＝2(n＋1)n(n－1)(n－2)， 化简得n2－5n＝0，解得n＝0或n＝5， 由题意知n≥3，所以n＝5. 在解含有排列数的方程或不等式时，必须注意A中m，n∈N*且m≤n这些限制条件．在解出方程或不等式后，要进行检验，把不合题意的解舍掉． (1)计算：＝________． (2)不等式A＋n≤10的解集为________． (1)1　(2){3，4}　解析：(1)方法一　原式＝ ＝＝＝1. 方法二　原式＝＝＝＝1. (2)原不等式化为(n－1)(n－2)＋n≤10，即n2－2n－8≤0，解得－2≤n≤4，又n－1≥2，且n∈N*， 所以3≤n≤4，所以n＝3或n＝4. 知识点二 排列数公式与排列问题 考向一：无限制条件的排列问题 (1)有5本不同的