6.1 第2课时 两个计数原理的应用（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第2课时　两个计数原理的应用 课程标准 核心素养目标 1．能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决实际问题． 2．会根据实际问题合理分类或分步． 1．弄清两个计数原理的区别．(数学抽象) 2．掌握组数问题、抽取与分配问题、涂色问题．(数学建模、逻辑推理、数学运算) [对应学生用书P4] 两个计数原理的区别 计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 每类方案都能独立完成这件事，它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成 任何一步都不能独立完成这件事，只有各步骤都完成了才能完成这件事 区别二 各类方案之间是互斥的，并列的，独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏 [微练1]由1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数为(　　) A．36 B．24 C．12 D．6 B　解析：由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2＝24. [微练2]某电话局的电话号码为139××××××××，若前七位已定好，最后四位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有(　　) A．8个 B．16个 C．20个 D．32个 B　解析：四位数字由6或8组成，可分四步完成，每一步有两种方法，根据分步乘法计数原理有2×2×2×2＝16(个). [微练3]在2，3，5，7，11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为(　　) A．20 B．10 C．5 D．24 B　解析：假分数的分子大于或等于分母．故以2为分母的有4个；以3为分母的有3个；以5为分母的有2个；以7为分母的只有1个．由分类加法计数原理知共有4＋3＋2＋1＝10(个). [对应学生用书P5] 知识点一 组数问题 用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 解：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125种排法，故可以排成125个三位数字的电话号码． (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，共有4×5×5＝100种排法，故可以排成100个三位数． (3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．共有12＋18＝30种排法．故可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． [探究] 由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？ 解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理知，可以组成2×3×3×2＝36个无重复数字的四位奇数． 常见的组数的解题原则 (1)首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数； (2)其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等； (3)最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数． 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________． 36　解析：方法一　根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).故共有36个． 方法二　分析个位数字，可分以下几类： 个位是9，则十位可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个；个位是8，则十位可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个；同理个位是7的有6个；…，个位是2的有1个． 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).故共有36个． 知识点二 抽取与分配问题 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中甲工厂必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　) A．16种 B．18种 C．37种 D．48种 C　解析：高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进