北京市第十二中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题

2021北京十二中高一（下）期中 数 学 一、选择题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1．（5分）若复数，则复数所对应的点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（5分）已知向量，，，若，则　　 A． B．11 C． D．10 3．（5分）和是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四个向量中，不能作为一组基底的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 4．（5分）某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是　　 A．五棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．四棱台 5．（5分）已知，且为锐角，则　　 A． B． C． D． 6．（5分）对于任意向量，，下列命题中正确的是　　 A．若，则 B． C． D． 7．（5分）已知向量，，，且，则　　 A．3 B． C． D． 8．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则　　 A．或 B． C． D．或 9．（5分）在中，已知，则是　　 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 10．（5分）设，，，则有　　 A． B． C． D． 11．（5分）已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为　　 A． B． C．1 D．4 12．（5分）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角，，所对的边分别为，，，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为　　 A． B． C． D． 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 13．（5分）　　． 14．（5分）　　． 15．（5分）若平面向量，都是单位向量，且，则，的夹角为　　． 16．（5分）若实数，满足方程组，则的一个值是　　．（答案不唯一，写出满足条件的一个值即可） 17．（5分）如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为，已知，则山的高度为　　． 18．（5分）如图，在边长为1的正方形中，为的中点，点在正方形内（含边界），且． ①若，则的值是　　； ②若向量，则的最小值为　　． 三、解答题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 19．（10分）已知是虚数单位，复数． （Ⅰ）当时，求复数的模； （Ⅱ）若为纯虚数，求实数值． 20．（10分）已知，，，，是坐标原点． （Ⅰ）若点，，三点共线，求的值； （Ⅱ）当取何值时，取到最小值？并求出最小值． 21．（14分）已知函数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最小正周期和对称轴方程； （Ⅲ）求在上的值域． 22．（12分）锐角中满足，其中，，分别为内角，，的对边． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，求的取值范围． 23．（14分）定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为． （Ⅰ）设函数，求证：； （Ⅱ）记向量的相伴函数为，当且时，求的值； （Ⅲ）将（Ⅰ）中函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图象．已知，，问在的图象上是否存在一点，使得．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 2021北京十二中高一（下）期中数学 参考答案 一、选择题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内对应点的坐标得答案． 【解答】解：， 复数所对应的点的坐标为，在第一象限． 故选：． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的云算法则，计算得出结论． 【解答】解：向量，，， ， 则，， 故选：． 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的云算法则，属于基础题． 3．【分析】由题意，和是表示平面内所有向量的一组基底，找出不能作为一组基底的向量方法就是验证它们共线，故对四个选项进行考查，找出共线的那一组即可找到正确选项 【解答】解：由题意和是表示平面内所有向量的一组基底， 选项中，存在一个实数使得，此两向量共线，故不能作为基底，可选； 选项中找不到一个非零实数使得成立，故不能选； 选项与选项中的两个向量是不共线的，可以作为一组基底， 综上，选项中的两个向量不能作为基底． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的基本定理中基底的意义，解题的关键是理解基底中的两个基向量是不共线的，本题的难点是验证向量的共线，对基底的考查是近几年高考的热点，题后要注意总结做题规律 4．【分析】分别求出五棱锥、三棱柱、三棱台和四棱台的顶点个数即可． 【解答】解：对于，五棱锥有个顶点，满足题意； 对于，三棱柱有个顶点，满足题意； 对于，三棱台有个顶点，满足题