18.2.3 菱形的性质（知识精讲）2022—2023学年人教版数学八年级下册

第10讲：18.2.3菱形的性质 素养目标 1.理解菱形的概念，会用菱形的性质解决简单的问题. 2.综合运用菱形的性质解决相关问题. 知识梳理 1．菱形的定义和性质 （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （2）性质 图形 性质 几何语言 菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，∠DAC=∠BAC，∠ACD=∠ACB，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 【特别提醒】 (1) 菱形的性质与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线一半的平方和； (2) 如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形； (3) 菱形的面积=底× 高= 两条对角线乘积的一半. 2．矩形与菱形的区别 (1)矩形和菱形都是建立在平行四边形的基础上，矩形是附加一直角，而菱形是附加一组邻边相等； (2)矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的等腰三角形，而菱形的两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三角形； (3)矩形的对称轴是两条过两组对边中点的直线，而菱形的对称轴是两条对角线所在的直线. 考点精讲 题型1：菱形的定义及对称性应用 【典例】如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，交BC边于点D，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形． 【练一练】如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形． 题型2：利用菱形的性质进行计算 【典例】如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝24°，求∠CEF的度数． 【练一练】（2022•青海）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE． （1）求证：△DCE≌△BCE； （2）求证：∠AFD＝∠EBC． 题型3：利用菱形的性质进行证明 【典例】49．（2022•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：BE＝DF． （2）当∠BAD＝110°时，求∠EAF的度数． 【练一练】（2022•济南）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF． 题型4：利用菱形的面积公式解答问题 【典例】（2022•南京模拟）如图，菱形花坛ABCD的一边长AB为20m，∠ABC＝60°，沿着该菱形的对角线修建两条小路AC和BD． （I）求AC和BD的长； （II）求菱形花坛ABCD的面积． 【练一练】45．（2022春•岷县期中）四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于H，求DH的长． 课堂集训 1．（2022秋•信宜市校级期中）已知菱形ABCD的周长为36cm，则此菱形的边长为（　　） A．9cm B．18cm C．3cm D．20cm 2．（2022•剑阁县模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（　　） A． B．8 C． D．16 3．（2022秋•大连期中）如图，已知点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（1，），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C，D两点的坐标为（　　） A．点C（﹣1，），点D（﹣2，2） B．点C（﹣2，﹣2），点D（﹣1，） C．点C（﹣1，），点D（﹣2，﹣2） D．点C（﹣2，2），点D（﹣1，） 4．（2022春•越秀区期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．18 C．12 D．9 5．（2022秋•市南区期中）如图，点P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，且PE＝2．连接PC，若菱形的周长为24，则△BCP的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 6．（2022•来凤县模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 7．（2022•河东区一模）如图，若菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（3，0）、（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（　　） A．（﹣5，4） B．（﹣5，5） C．（﹣4，4） D．（﹣4，5） 8．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD＝BC