18.1.2平行四边形的判定（知识精讲）　2022—2023学年人教版数学八年级下册

第07讲：18.1.2平行四边形的判定 素养目标 1．掌握平行四边形的五种判定方法，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来证明问题． 3．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质，能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题． 4．掌握三角形与平行四边形的相互转换，学会基本的添辅助线法． 知识梳理 （一）平行四边形的判定 1．判定平行四边形可以从对边、对角和对角线三个方面进行。如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，具体方法见下表： 条件类型 判定定理 几何语言 对边关系 两组对边分别平行的 四边形是平行四边形(定义) ∵， ∴四边形是平行四边形 两组对边分别相等的 四边形是平行四边形 ∵， ∴四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形 ∵， ∴四边形是平行四边形 对角关系 两组对角分别相等的 四边形是平行四边形 ∵， ∴四边形是平行四边形 对角线关系 对角线互相平分的 四边形是平行四边形 ∵， ∴四边形是平行四边形 2．灵活选择平行四边形判定定理的方法 (1)已知一组对边平行，可证明该组对边相等或证明另一组对边平行． (2)已知一组对边相等，可证明该组对边平行或证明另一组对边相等． (3)已知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分． (4)已知条件与角有关，可证明两组对角分别相等． (二)三角形的中位线 1．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 几何语言：∵ AD=BD，AE=EC， ∴ DE 是△ ABC 的中位线． 2．三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 几何语言：∵AD=BD，AE=EC，∴DE//BC，且DE=BC． 3．三角形的中位线的应用 (1)三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系： 一是位置关系，可以用来证两直线平行；二是数量关系，可以用来证线段的倍分关系． (2)中位线具有平移角、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，若知道了三角形的中位线，则三角形两边的中点即可找到． 考点精讲 题型1：由两组对边分别平行或相等判定平行四边形 【典例】如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线交CB的延长线于点F，∠ABC的平分线交AD的延长线于点E，求证：四边形BFDE为平行四边形． 【练一练】（2022春•同安区期中）如图．在平行四边形ABCD中，AE∥CF，求证：BE＝DF． 题型2：由两组对角分别相等判定平行四边形 【典例】（2022春•府谷县期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠DCA＝∠CAB，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【练一练】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，试判别四边形ABCD的形状，并说明理由． 题型3：由对角线互相平分判定平行四边形 【典例】如图，在▱ABCD中，EF过对角线交点O，分别交AD，BC于点E，F，点G，H分别是OA与OC的中点，试判断四边形EGFH的形状，并证明你的结论． 【练一练】（2022春•互助县期中）如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是OB，OD的中点，求证：四边形AFCE是平行四边形． 题型4：由一组对边平行且相等判定平行四边形 【典例】（2022春•宜城市期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝BF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【练一练】（2022春•沂南县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD．连接AF． （1）求证：AE＝CE； （2）求证：四边形ABDF是平行四边形． 题型5：三角形中位线的性质应用 【典例】（2022春•礼泉县期末）如图已知，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，连接MN，如果AB＝10，BC＝15，MN＝3，求△ABC的周长． 【练一练】（2021春•浦城县月考）已知：如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论． 题型6：平行四边形的性质、判定与三角形中位线的综合应用 【典例】（2022春•元宝区校级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形： （2）若∠ACB＝90°，AC＝6cm，DE＝2cm，求四边形DEF