2023年中考数学专题——二次函数与一次函数的综合

2023年中考数学专题——二次函数与一次函数的综合 一、综合题 1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C． （1）求这个二次函数的表达式； （2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求 的面积； （3）若点Р是抛物线上的一个动点，过点Р作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣ x+c与直线y＝ x+ 交于A、B两点，已知点B的横坐标是4，直线y＝ x+ 与x、y轴的交点分别为A、C，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在直线y＝ x+ 下方，求△PAC的最大面积； （3）设M是抛物线对称轴上的一点，以点A、B、P、M为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 4．如图，抛物线y1＝a（x﹣1）2+4与x轴交于A（﹣1，0）． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）一次函数y2＝x+1的图象与抛物线相交于A，C两点，过点C作CB垂直于x轴于点B，求△ABC的面积． 5．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（ ）和B（4，6），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）当C为抛物线顶点的时候，求 的面积. （3）是否存在这样的点P，使 的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由. 6．已知二次函数 的图象过点 （3，0）、 （－1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，二次函数的图象与 轴交于点 ，二次函数图象的对称轴与直线 交于点 ，求 点的坐标； （3）在第一象限内的抛物线上有一点 ，当 的面积最大时，求点 的坐标． 7．如图，抛物线 与 轴交于 （-1，0）， （3，0）两点，直线 与抛物线交于 、 两点，其中 点的横坐标为2． （1）求抛物线及直线 的函数表达式； （2）点 是线段 上的点（不与 ， 重合）过 作 轴交抛物线于 ，若点 的横坐标为 ，请用含 的代数式表示 的长． 8．如图，直线 和抛物线 都经过点 （1，0）， （3，2）． （1）求 的值； （2）求不等式 的解集（直接写出答案）． 9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E. （1）求此抛物线的解析式. （2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积. 10．已知：如图，抛物线y= 与直线 交于A、B两点，若A点的坐标为（1，2） 求： （1）抛物线与直线的解析式； （2）B点的坐标； （3） 的面积． 11．如图，抛物线y= +bx+c的对称轴为x=﹣1，该抛物线与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D． （1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标． （2）试判断△BCD的形状，并予证明． （3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线y=ax2+bx－3过A(－1，0)、B(3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为2，点P(m，n)是线段AD上的动点． （1）求直线AD及抛物线的解析式． （2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点H，求线段PH的长度l与m的关系式，m为何值时，PH最长？ （3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）E，使得P、H、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，说明理由． 13．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交 轴于 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 的周长最小？若存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．已知二次函数 的图象与 轴相交于 ， 两点，与 轴交于 点（如图所示），点 在二次函数的图象上，且 与