2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与周长问题

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与周长问题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣n）（x+10）与x轴交于点A和点B、与y轴交于点C，tan∠OAC＝1． （1）求直线AC的解析式； （2）点Q为抛物线上第三象限内一点，连接BQ，交AC于点P，且∠ABQ＝∠OCB，点P的横坐标为t，△PCB的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，过点P作PD⊥BC于点D，过O作OE∥BC交PD于E，连接BE，若BE平分△PBD的周长，求点Q的坐标． 2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，过点A的直线m与抛物线交于点C，其中点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点E是抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及点E的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+与抛物线y＝ax2+bx﹣交于点A（2，n）和点B（﹣2，k），与y轴交于点E，抛物线交y轴于点C，点P是第一象限直线AB上方抛物线上的一点，连接PA，PE． （1）求抛物线的表达式； （2）当△APE的面积等于时，设点P的横坐标为m，求m的值； （3）将线段EC绕点E顺时针旋转得到线段EF，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接AF交线段EC于点G，∠FEC的平分线交AF于点H，当△EFH的周长最大时，直接写出点H的坐标． 4．已知，抛物线y＝mx2+x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C．点D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线l⊥x轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD． （1）求m的值和直线AC的解析式． （2）若点D在运动过程中，AD+CD取得最小值时，求此时n的值． （3）若△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6时，求AE+CE的最小值． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点M（1，﹣4），与x轴相交于A．B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），与直线y＝kx﹣k﹣2相交于D，E两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当S△BDE＝5S△ADE时，求k的值； （3）如图2，作DF∥y轴交EM的延长线于F，当△ACF的周长最小时，求点F的坐标． 6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）、B（，0）两点，交y轴于点C．连接AC、CB． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上第二象限上一点，过P点作PM⊥AC于M，过P作PN∥y轴交AC于点N，当△PMN周长有最大值时，求P点坐标及周长最大值． （3）如图2，将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，M点在新抛物线后的对称轴上，N点为平面内一点，使以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出N点坐标． 7．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB：y＝﹣x+相交于点A（1，0）和B，直线AB交y轴于点C，抛物线交y轴于点D（0，﹣）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点E是x轴上的一个动点，连接BE、CE，请问△BCE的周长是否存在最小值？若存在，请求出点E的坐标，并求出周长最小值；若不存在，请说明理由； （3）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由． 8．如图，抛物线与x轴分别相交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为点D． （1）求直线BC的表达式； （2）点M（m，0）为线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点E． ①当m为何值时，△BCE的面积有最大值，并求出此时四边形OMEC的周长； ②是否存在这样的点F，使△DFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 9．综合与探究： 如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），且与y轴交于点C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）如图1，若M（m，y1），N（n，y2）是第四象限内抛物线上的两个动点，且m＜n，m+n＝4．分别过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E．判断四边形MDEN的形状，并求其周长的最大值； （3）如图2，在（2）的条件下，当四边形MDEN的周长有最大值时，若x轴上有一点H（2m，0），抛物线的对称轴与x轴相交于点F，试探究在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝2∠OCH？若存在，请求出点P的