2022-2023学年初中数学奥数《完全平方差问题1》教学实录

《完全平方差问题1》教学实录 教学目标: 1.认识完全平方差,两种方法求解完全平方差算式。 2.利用面积模型,经历探究直接法和间接法计算完全平方差算式,掌握两种方法的计算方法 3.感受“数形结合”思想,激发热爱数学之情。 教学重点:利用面积模型,经历探究直接法和间接法计算完全平方差算式,掌握两种方法的计算方法。 教学难点:感受“数形结合”的思想,理解两位数乘一位数的算理。 教学过程: 1、 谈话导入,揭示课题 同学们,大家好,之前我们已经学习了完全平方和问题,今天我们将来学习完全平方差问题。和之前一样,我们将利用面积模型来解决此类问题。同学们对它感兴趣吗?抓紧时间,我们一起来看一看吧。 二、以形助教 探究新知 1.认识完全平方差 我们看,这是一个边长为 10 的大正方形。这个大正方形是由四个小图形构成,其中两块是相同的小长方形,这一块是边长为 3 的小正方形,还有一块是粉色稍大一点的正方形。那我们利用这个图形我们要来解决一个什么问题呢?请看,我们将来解决这个算式 。这个算式我们就叫做完全平方差,一个数减另一个数的差的平方我们就叫做完全平方差。 2. 直接法 我们在学习完全平方和的时候,我们知道相同的数乘起来的话,我们可以把它写成是平方的形式。我们是不是也可以把它展开呢?我们可以写成是的差,再乘的差,这是同一个数乘起来。 你会联系到什么呢?聪明的同学马上会想到和正方形的面积公式有关系,正方形的面积公式是边长乘边长,也是同一个数相乘。我们看的差的平方,我们要求的是谁的面积呢?我们和这个图形联系起来,有的同学已经想到了我们要去求粉色这一块正方形的面积,真的是这一块面积吗?我们一起来看一看。 我们发现大正方形的边长是10,我们就知道右边这条也是10,减去小正方形的边长,那我们求的就是这一条边长,所以这条边长就是。这条边长是,我们就知道这块粉色正方形的边长也是。所以我们利用公式边长乘边长就可以得到粉色这块正方形的面积,是的差乘的差。 3. 间接法 还有其他方法来求这块粉色正方形的面积吗?大家思考一下。是的,我们可以通过大正方形的面积减去这一部分面积,剩下的就是粉色这块正方形的面积。那怎么求呢?我们知道大正方形的面积是10×10,看老师的手,这些面积是多少呢?其实我们可以把它看成是两块长方形的面积,如果减去这两块长方形的面积的话,我们会发现这个小正方形的面积我们剪了几次。对,我们剪了两次,等会我们还要把它的面积再加上一次,也就是说我们只要减去一块小正方形的面积就可以了。所以我们在它的基础上减去两块长方形的面积,这两块长方形的面积我们发现是相同的,我们求出其中一块的面积再乘 2 就可以了。其中一块长方形的面积长是10,宽是3,减去 10 ×3,再乘2。 刚才说了,减去两块长方形的面积的时候,这块小正方形的面积多减了一次,我们要把这块小正方形的面积给加上,它是 3 ×3,这是利用第二种方法求得这块粉色正方形的面积。 我们看这种方法的话,我们利用之前学的同一个数相乘,我们可以把它改写成平方的形式。所以10×10我们写成是 ,然后我可以把这个2提前,也就是两块正长方形的面积,然后加上 。这样我们是不是就可以把这块粉色正方形的面积求出来了呢? 就是100,减去 2 乘 10 乘3,就是60,再加就是9,所以最后求得结果是49。 有些同学又疑惑了,他觉得我直接求出这块粉色正方形的面积不就行了吗?为什么还要多此一举,利用大正方形的面积减去这些面积,求得粉色正方形的面积呢?为什么?那我们接着看第二题你就知道了。 4.面积模型 化繁为简 我们看正方形变大了,它的边长变成是20,同样的也是由四小块图形构成。我们现在要去求谁的面积了呢?对了,我们要去求这块绿色正方形的面积,直接去求这块绿色正方形面积的话,我们知道是边长乘边长,它的边长是多少呢?和刚才的方法一样,这条是 20 ,减去小正方形的边长4,我们就知道这条边长它是 ,就是这块正方形的边长。所以我们用完全平方差的形式写出来,那就是。 如果直接去求的话,是不就是 呢?你是不是要列竖式计算了呢?原因就在于此,我们为什么要利用大正方形的面积去间接求这块绿色正方形的面积?因为直接求我们需要列竖式计算,在乘法计算的时候比较麻烦。但是如果我们通过间接去求这块绿色正方形的面积,我们就可以口算了。一起来看一看。 同样的是大正方形的面积,20×20,减去这一块长方形的面积,再减去这块长方形的面积。同样的,这块小正方形的面积,我们发现是多减了一次,所以说等会要把这块小正方形的面积给加上。小长方形的面积其中长是20,宽是4,所以减去 20 × 4 ,减两块,那就是再乘2。小正方形的面积多减了一次,所以我们要把它的面积加上一次,加上 4×4。然后我们改写成平方的形式,我们看这样是不是就能够口算了呢?最后结果求出来是256,真的