专题17.6 勾股定理的逆定理（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题17.6 勾股定理的逆定理（知识讲解） 【学习目标】 1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系． 2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形. 3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围. 【要点梳理】 要点一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 特别说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C ＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 特别说明：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 要点三、互逆命题 如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题. 特别说明：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题. 类型一、勾股定理的逆定理➽➼直角三角形的判定✬✬网格上的直角三角形 1．如图所示，已知中，于，，，． (1) 求的长； (2) 判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 1.2 (2) 直角三角形，理由见分析 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）先在中，利用勾股定理可求出的长，从而求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答． （1）解：， ， ，， ， 的长为1.2； （2）是直角三角形， 理由：在中，，， ， ， ，， ， 是直角三角形． 【点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 举一反三： 【变式1】如图，在中，边上的垂直平分线为与分别交于点D、E，且． (1) 求证：； (2) 若，，求的长． 【答案】(1) 见分析 (2) 的长为 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解； （2）设，则，在中，根据，列出方程计算即可求解． 解：（1）证明：连接， ∵边上的垂直平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为． 【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用． 【变式2】如图，四边形中，为对角线，于点，已知，． (1) 请判断的形状并说明理由． (2) 求线段的长． 【答案】(1) 是直角三角形，理由见分析 (2) 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可判定的形状； （2）根据的面积不变即可求出线段的长． （1）解：是直角三角形，理由如下： 在直角中，， ， ，， 是直角三角形； （2）解：由（1）知，是直角三角形，且． 【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 2．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题． (1) 试判断的形状并说明理由； (2) 画出边上的高，求的长； (3) 以为边向右侧做，使是等腰三角形，则的长为________． 【答案】(1) 是直角三角形，理由见分析 (2) 画图见分析，2 (3) 画图见分析， 【分析】（1）利用勾股定理和勾股定理的逆定理求解即可； （2）取格点E，连接交于D，点D即为所求，利用三角形面积法求出即可； （3）如图所示，取格点D即为所求，利用三线合一定理求出即可． （1）解：是直角三角形，理由如下： 由题意得， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图所示，点D即为所求； 取格点E，连接交于D，可证得到，进一步证明，则即为中边上的高； ∵， ∴ （3）解：如图所示，即为所求； ∵， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形面积，熟知勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 举一反三： 【变式1】如图，的三个顶点的坐标分别为． (1) 判断的形状，请说明理由． (2) 求的周长和面积． (3) 在x轴上有一点P，使得最小，则的最小值为________． 【答案】(1) 是直角三角形，理由见分析 (2) 周长为，面积为5 (3) 【分析】（1）根据勾股定理，分别求出，再由勾股定理的逆定理，即可求解； （2）分别求出，，再由三角形的周长公式和面积公式计算，