专题17.1 勾股定理（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题17.1 勾股定理（知识讲解） 【学习目标】 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】 要点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 特别说明：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决 问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 要点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为的线段. 要点四、勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 1 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 特别说明：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长； 【典型例题】 类型一、勾股定理➽➼解直角三角形✬✬坐标系中两点之间距离 1．如图，是的高，，，，求的长． 【答案】 【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，再证明，即可利用勾股定理求出的长． 解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的计算，正确求出的长是解题的关键． 举一反三： 【变式】如图，在中，，，AE是BC边上的中线，过点C作，垂足为F，过点B作BC的垂线交CF的延长线于点D． (1) 求证：． (2) 若，求AE． 【答案】(1) 见分析 (2) 【分析】（1）证明(AAS)，由全等三角形的性质得出； （2）根据全等三角形的性质，得出，，结合题意得出，根据勾股定理求解即可． 解：（1）∵，， ∴， ∴， 又∵，且， ∴在和中， ， ∴(AAS)， ∴； （2）由（1）可得， ∴，， ∵AE是BC边上的中线， ∴， ∴， 在中， ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 2．阅读下列一段文字：已知在平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝ 问题解决：已知A（1，4），B（7，2） (1) 试求A，B两点的距离； (2) 在x轴上找一点P（不求坐标，画出图形即可），使PA+PB的长度最短，求PA+PB的最短长度． 【答案】(1) 2 (2) P点作图见分析，PA+PB的最短长度为6 【分析】（1）根据点A和点B的坐标，直接运用公式，从而求得结果；（2）作点A关于点x轴的对称点，连接B，求得B的长，从而得出结果． （1）解：∵A（1，4），B（7，2） ∴AB＝＝2； （2）如图， 作点A关于x轴的对称点（1，﹣4），连接B，交x轴于点P， 则PA+PB的最小值是B的长， ∵B＝＝6， ∴PA+PB的最小值＝6． 【点拨】本题考查了通过阅读使用坐标系中两点之间的距离公式，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 举一反三： 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的正半轴上，且． （1）写出点的坐标； （2）求的长． 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）根据点在轴的正半轴上，且即可写出点的坐标； （2）过点作于，求得，进而根据勾股定理即可求得的长． 解：（1）点在轴的正半轴上，且， ， （2）过点作于，如图， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了勾股定理在平面直角坐标系中的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 类型二、勾股定理➽➼勾股数✬✬勾股树 3．观察下列勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；…；，，.根据你的发现，求出当时，，的值. 【答案】，.