专题07 几何图形的旋转变换问题-【聚焦压轴】2023届中考数学压轴大题专项突破

专题07 几何图形的旋转变换问题 几何图形的旋转变换在中考压轴题中的考查非常频繁。 旋转变换的性质：图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化。 在解决旋转变换的题目时，不仅要把握旋转的性质和几何图形的性质外，还要求考生能够在图形变换中找到不变的量，通过转化等数学思想，将未知条件转化为已知条件，陌生模型转化为熟悉模型。 （2022·山东菏泽·统考中考真题）如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE． (1)直接写出CE与AB的位置关系； (2)如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由； (3)如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长． （1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得结论； （2）通过证明，可得，由余角的性质可得结论； （3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得，即可求解． 【答案】(1)CE⊥AB，理由见解析；(2)一致，理由见解析；(3) 【详解】（1）如图，延长CE交AB于H， ∵∠ABC=45°，AD⊥BC， ∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°， ∵DE=CD， ∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°， ∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°， ∴CE⊥AB； （2）在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致的，理由如下： 如图2，延长交于H， 由旋转可得：CD=，=AD， ∵∠ADC=∠ADB=90°， ∴， ∵， ∴, ， ∵+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH， ∴∠DA+∠AGH=90°， ∴∠AHC=90°， ； （3）如图3，过点D作DH于点H， ∵△BED绕点D顺时针旋转30°， ∴， ， ， ∴AD=2DH，AH=DH=， ， 由（2）可知：， ， ∵AD⊥BC，CD=， ∴DG=1，CG=2DG=2， ∴CG=FG=2， ， ∴AG=2GF=4， ∴AD=AG+DG=4+1=5， ∴． 本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键． （2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，D，E，F分别为的中点，连接． 　　 　　 (1)如图1，求证：； (2)如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． （1）连接，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据中位线定理可得，即可得证； （2）证明，根据（1）的结论即可得； （3）连接，过点作于，证明，可得，勾股定理求得，根据，，可得，进而求得，根据求得，根据（2）的结论，即可求解． 【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析；(3) 【详解】（1）证明：如图，连接， ，D，E，F分别为的中点， ，， ， ， （2），理由如下， 连接，如图， ，D，E，F分别为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 将绕点D顺时针旋转一定角度，得到， ， ， ， ， ， ， （3）如图，连接，过点作于， 中，, ， ， ， ， ， ， ， 中， ， 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （2022·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． （1）由三角形中位线定理得到 ，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论； （2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长ND，使DH