专题02 利用圆的性质进行求解的问题-【聚焦压轴】2023届中考数学压轴大题专项突破

专题02 利用圆的性质进行求解的问题 圆在压轴题中考查综合性比较强，常与二次函数、全等三角形以及相似三角形结合进行考查，本专题中重点侧重压轴题中对圆的性质的考查部分，需要考生熟练掌握与圆有关的性质。 圆有关的性质： 1．圆的对称性：圆既是轴对称图形有时中心对称图形。 2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 3．垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 4．圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 5．圆心角、弧、弦的关系定理推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 6．圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 7．圆周角定理的推论： 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论2：直径所对的圆周角是直角． 8．点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外． 9．直线和圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d>r d=r d<r 10．切线的性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于圆的半径；切线垂直于经过切点的半径。 11．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义）； （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 12．三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等。 13．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形；内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等。 14．正多边形的有关概念 （1）正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； （2）正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径； （3）正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角； （4）正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 15．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==． 16．圆锥与侧面展开图 （1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长。 （2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr， 圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）． （2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点F，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点G是上一点，连接，若，，求的长． （1）根据SAS证明即可得到结论； （2）证明即可得出结论； （3）先证明，连接，证明，设，，在上取点M，使得，连接，证明为等边三角形，得，根据可求出，得，，过点H作于点N，求出，再证，根据可得结论． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【详解】（1）如图1．∵点D，点E分别是半径的中点 ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∴； （2）如图2．∵， ∴ 由（1）得， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ （3）如图3．∵， ∴ ∴ 连接．∵ ∴， ∴， ∵ 设， ∴ 在上取点M，使得，连接 ∵， ∴ ∴， ∴为等边三角形 ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， 过点H作于点N ， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴． 本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． （2022·浙江温州·统考中考真题）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知．点P，Q分别在线段上（不与端点重合），且满足．设． (1)求半圆O的半径． (2)求y关于x的函数表达式． (3)如图2，过点P作于点R，连结． ①当为直角三角形时，求x的值． ②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值． （1）连接OD，设半径为r，利用，得，代入计算即可； （2）根据CP=AP十AC，用