2023年中考数学复习《最值、存在性问题》解答题专题提升训练

2022-2023学年九年级数学中考复习《最值、存在性问题》解答题专题提升训练（附答案） 1．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒， （1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？ （2）P、Q在运动过程中，是否存在时间t，使得△PBQ的面积最大，若存在求出时间t和最大面积，若不存在，说明理由． 2．已知如图，二次函数y=-x2+2x+m的图象过点B(0，3)，与x轴正半轴交于点A （1）求二次函数的解析式； （2）求点A的坐标； （3）若点C为抛物线上位于直线BA上方的一动点（不与点A和点B重合），过点C作CD⊥x轴交直线BA于点D．请问：是否存在一点C，使线段CD的长度最大？若不存在，请说明理由；若存在，请求点C的坐标和线段CD长度的最大值． 3．已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A(﹣1，0)和点B，与y轴交点为C(0，﹣3)，直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D． （1）求抛物线和直线L的解析式； （2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x轴交L于点N，求MN的最大值； （3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由． 4．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，以点B为圆心，以为半径作圆． （1）设点P为⊙B上的一个动点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连接DA，DB，PB，如图2．求证：AD＝BP； （2）在（1）的条件下，若∠CPB＝135°，则BD＝　 　； （3）在（1）的条件下，当∠PBC＝　 　° 时，BD有最大值，且最大值为　 　；当∠PBC＝　 　° 时，BD有最小值，且最小值为　 　． 5．如图，正方形ABCD的边长为1，当点E在边BC上运动时（不与正方形的顶点重合），连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F．设BE＝x，CF＝y，求下列问题： （1）证明△ABE∽△ECF； （2）求出y关于x的函数关系式； （3）试求当x取何值时？y有最大或最小值，是多少？ 6．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）已知C为抛物线与y轴的交点，设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值． 7．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q． ①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？ ②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+4m的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）． （1）求二次函数的表达式及点A的坐标； （2）如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△CFD，连接CB，BF． ①当点F落在该二次函数的图象上时，求AC的长； ②设AC＝n，其中0＜n＜2，试用含n的式子表示CB2+BF2，并求出使CB2+BF2取得最小值时点F的坐标． 9．如图，抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． （1）试求点A、B、D的坐标； （2）连接CD，过原点O作OE⊥CD于点H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE、AD．求证：∠AEO＝∠ADC； （3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙O的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标． 10．如图，直线y＝﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C，经过点C且对称轴为x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点． （1）试求点A、C的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时，点N在线段OC上以相同的速度由点O向点C运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），又PN∥x轴，交AC于P，问在运动过程中，线段PM的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由