专题12 【大题限时练十二】-备战2023年北京高考数学满分限时题集

专题12 大题限时练十二 1．已知函数．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知． （Ⅰ）求的解析式及最小值； （Ⅱ）若函数在区间，上有且仅有1个零点，求的取值范围． 条件①：函数的最小正周期为； 条件②：函数的图象经过点； 条件③：函数的最大值为． 2．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）设在棱上，且，为的中点，求证：平面；并求直线与平面所成角的正弦值． 3．为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（1）班（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测．经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数） （Ⅰ）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； （Ⅱ）若从以上统计的高一（4）班的10名学生中抽出2人，设表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望； （Ⅲ）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等．现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀，2，，．写出方差，，，的大小关系（不必写出证明过程）． 4．若函数． （Ⅰ）判断方程解的个数，并说明理由； （Ⅱ）当，设，求的单调区间． 5．已知椭圆经过点，且离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若，是椭圆上异于点的两点，且以线段为直径的圆恒过点，判断直线是否过定点？如果是，求此定点坐标．如果不是，请说明理由． 6．若实数数列满足，则称数列为“数列”． （Ⅰ）若数列是数列，且，，求，的值； （Ⅱ）求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数； （Ⅲ）若数列为数列，且中不含值为零的项，记前2016项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 大题限时练十二 1．已知函数．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知． （Ⅰ）求的解析式及最小值； （Ⅱ）若函数在区间，上有且仅有1个零点，求的取值范围． 条件①：函数的最小正周期为； 条件②：函数的图象经过点； 条件③：函数的最大值为． 【答案】见解析 【详解】（Ⅰ）由题可知， ， 选择①②： 因为，所以， 又因为，所以， 所以， 当， 即时，， 所以函数的最小值为； 选择①③： 因为，所以， 又因为函数的最大值为， 所以， 所以， 当，即时， ， 所以函数的最小值为； 选择②③： 因为，所以， 因为函数的最大值为，所以， 的取值不可能有两个，无法求出解析式，舍去； （Ⅱ）选择①②： 令， 则， 所以， 当，2时，函数的零点为， 由于函数在区间，上有且仅有1个零点， 所以， 所以的取值范围是； 选择①③： 令， 则，或， 所以，或， 当时，函数的零点分别为， 由于函数在区间，上有且仅有1个零点， 所以， 所以的取值范围是． 2．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）设在棱上，且，为的中点，求证：平面；并求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【详解】连接，设，连接，，， 在长方体中，因为，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，且， 因为，分别是，的中点． 所以，且， 在矩形中，是的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面， 平面； 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，1，， 所以，0，，，2，， 设平面的一个法向量为，，， 则，即，令，则，， 所以平面的一个法向量为，1，， 因为，所以平面， 因为，1，，，，， 设直线与平面所成角为， 所以，． 直线与平面所成角的正弦值为． 3．为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（1）班（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测．经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数） （Ⅰ）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； （Ⅱ）若从以上统计的高一（4）班的10名学生中抽出2人，设表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望； （Ⅲ）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等．现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第班抽到的