专题11 【大题限时练十一】-备战2023年北京高考数学满分限时题集

专题11 大题限时练十一 1．已知函数，，同时满足下列四个条件中的三个： ①最小正周期； ②的图像可以由的图像平移得到； ③函数的最大值为2； ④． （Ⅰ）请选出这三个条件并说明理由，再求出函数的解析式： （Ⅱ）若曲线的图像只有一个对称中心落在区间，内，求的取值范围． 2．如图，在四棱锥中，平面平面．是等腰三角形，且；在梯形中，，，，，． （Ⅰ）求证：面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）请问棱上是否存在点到面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 3．为实现乡村的全面振兴，某地区依托乡村特色优势资源，鼓励当地农民种植中药材，批发销售．根据前期分析多年数据发现，某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5000元，此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表： 该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况 各年的平均每亩产量 频率 0.25 0.75 （注：各年的平均每亩纯收入各年的平均每亩产量批发价格各年的平均每亩种植成本） （Ⅰ）以频率估计概率，试估计该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率； （Ⅱ）设该地区某农民2022年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为元，以频率估计概率，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）已知该地区某农民有一块土地共10亩，该块土地现种植其他农作物，年纯收入最高可达到45000元，根据以上数据，该农民下一年是否应该选择在这块土地种植此品种中药材？说明理由． 4．已知函数． （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）设函数．若对任意，，存在，，使得成立，求实数的取值范围． 5．已知椭圆过定点，离心率． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程． 6．设正整数数列满足，2，． （Ⅰ）若，请写出所有可能的取值； （Ⅱ）记集合，证明：若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）若为周期数列，求所有可能的取值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 大题限时练十一 1．已知函数，，同时满足下列四个条件中的三个： ①最小正周期； ②的图像可以由的图像平移得到； ③函数的最大值为2； ④． （Ⅰ）请选出这三个条件并说明理由，再求出函数的解析式： （Ⅱ）若曲线的图像只有一个对称中心落在区间，内，求的取值范围． 【答案】见解析 【详解】（Ⅰ）由题意知条件②：，最大值为，与③矛盾，故②③不能同时成立，则①④必满足，所以， 所以，故排除②， 所以同时满足①③④． 所以，， 此时， 因为， 所以， 即， 因为， 所以， 所以； （Ⅱ）令，， 解得，所以的对称中心是， 因为曲线只有一个对称中心落在区间，内， 所以， 所以的取值范围是． 2．如图，在四棱锥中，平面平面．是等腰三角形，且；在梯形中，，，，，． （Ⅰ）求证：面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）请问棱上是否存在点到面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析 【详解】证明：，平面，平面， 平面． 解：是直角梯形，，，，，， ，又，到的距离为， 平面平面，到平面的距离为2． 以为原点，以，，及平面过的垂线为坐标轴建立空间坐标系如图所示： ，0，，，5，，，3，，，4，， ，1，，，5，，，2，， 设平面的法向量为，，，平面的法向量为，，， 则，， ，， 令，可得，0，，，，， ，． 由图形可知二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为． 解：假设棱上存在点到面的距离为，设，2，，，， ，，，，，， 点到平面的距离，， 棱上是存在点到面的距离为，． 3．为实现乡村的全面振兴，某地区依托乡村特色优势资源，鼓励当地农民种植中药材，批发销售．根据前期分析多年数据发现，某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5000元，此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表： 该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况 各年的平均每亩产量 频率 0.25 0.75 （注：各年的平均每亩纯收入各年的平均每亩产量批发价格各年的平均每亩种植成本） （Ⅰ）以频率估计概率，试估计该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率； （Ⅱ）设该地区某农民2022年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为元，以频率估计概率，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）已知该地区某农民有一块土地共10亩，该块土地现种植其他农作物，年纯收入最高可达到45000元，根据以上数据，该农民下一年是否应该选择在这块土地种植此品种中药材？说明理由． 【答案】见解