专题08 【大题限时练八】-备战2023年北京高考数学满分限时题集

专题08 大题限时练八 1．如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，底面，，点是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求到平面的距离． 2．在中，． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在．求的面积． 条件①：； 条件②：． 3．某产业园生产的一种产品的成本为50元件．销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元．为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如表所示． 产品等级 优等品 一等品 二等品 普通品 样本数量（件 30 50 60 60 （Ⅰ）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率； （Ⅱ）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为，用频率估计概率，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅲ）为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元．设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，，比较，的大小．（请直接写出结论） 4．已知函数，． （Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数，的值； （Ⅱ）若函数无零点，求实数的取值范围； （Ⅲ）当时，函数在处取得极小值，求实数的取值范围． 5．已知椭圆经过点，到椭圆的两个焦点的距离和为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设，为的中点，作的平行线与椭圆交于不同的两点，，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点，求证：，，三点共线． 6．设，，，，，，，，是个互不相同的闭区间，若存在实数，使得，2，，，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合点． （Ⅰ）已知，，，为聚合区间，求的值； （Ⅱ）已知，，，，，，，，为聚合区间． （ⅰ）设，是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在，，2，，，使得，，2，，； （ⅱ）若对任意，且，，2，，，都有，互不包含．求证：存在不同的，，2，，，使得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 大题限时练八 1．如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，底面，，点是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求到平面的距离． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【详解】证明：底面是边长为2的菱形， ，平面，平面， 平面； 解：取的中点，连接， 底面是边长为2的菱形，， 是正三角形，所以，， 以为原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，，，，1，，，0，，，， ，，，，， 设平面的一个法向量为，，， 则，令，则，， 所以面的一个法向量为，3，， 又，1，， 所以到平面的距离为． 到平面的距离为． 2．在中，． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在．求的面积． 条件①：； 条件②：． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析 【详解】（Ⅰ）由正弦定理可得， 又， 可得， 因为， 所以，即． （Ⅱ）若选条件①：由正弦定理可得， 又， 所以，此时不存在； 若选条件②：由， 又，可得，可得， 由余弦定理，可得，解得或（舍去）， 所以的面积． 3．某产业园生产的一种产品的成本为50元件．销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元．为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如表所示． 产品等级 优等品 一等品 二等品 普通品 样本数量（件 30 50 60 60 （Ⅰ）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率； （Ⅱ）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为，用频率估计概率，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅲ）为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元．设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，，比较，的大小．（请直接写出结论） 【答案】见解析 【详解】（Ⅰ）在样本空间中， 随机抽取一件产品为优等品的频率为， 故若从流水线上随机抽取一件产品， 估计该产品为优等品的概率为； （Ⅱ）由题意得， 样本空间中单件产品利润大于20元的频率为， 故， ， ， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 ； （Ⅲ）每件产品的销售价格均降低了5元， 产品的平均销售价格也降低了5元， 故由方差的定义知， 降价前后这200件样本产品的利润的方差不变， 即． 4．已知函数，． （Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数，的值； （Ⅱ）若函数无零