2023年中考数学难点突破——相似综合题

2023年中考数学难点突破——相似综合题 定义:有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形,这两个角的夹边称为对半线. (1) 如图 ,在对半四边形 中,,求 与 的度数之和; (2) 如图 , 为锐角 的外心,过点 的直线交 , 于点 ,,,求证:四边形 是对半四边形; (3) 如图 ,在 中,, 分别是 , 上一点,,, 为 的中点,,当 为对半四边形 的对半线时,求 的长. 若过三角形一边中点画一直线与另一边相交(交点不为中点),截原三角形所得三角形与原三角形相似,则称中点与交点确定的线段为这条相交边的“中似线段”,把中似线段的两端点与相交边的中点构成的三角形称为“中似三角形”. (1) 如图 ,在 中,,,, 为 中点, 为 边的中似线段, 为中似三角形”,直接写出 , 的周长 . (2) 如图 ,在 中, 为 中点, 边的中似线段 恰好经过点 , 为中似三角形. ①当 时,求 的长; ②求 的值. (3) 如图 ,在 中,,, 为 中点, 为 边上的中似线段,中似 的外接圆 与 边相切,求 的半径(用含 的代数式表示). 在 中, 为边 上一点. (1) 如图 ,若 ,求证:; (2) 若 为 的中点,. ①如图 ,若 ,,求 的长; ②如图 ,若 ,,直接写出 的长. 如图 ,在矩形 中,点 是 边上一点,连接 交对角线 于点 ,.作线段 的中垂线 分别交线段 ,,, 于点 ,,,. (1) 求证:; (2) 若 ,,求 ; (3) 如图 ,在()的条件下,连接 ,求 的值. 阅读材料:小明遇到这样一个问题:如图 ,在 中,,过点 作射线 ,点 为射线 上的点,连接 ,,且 ,求证: 平分 .小明认真观察图形,又发现一对相等的角,利用相等的一对角和一对边,过点 作双垂直,构造全等三角形,如图 ,从而将问题解决. (1) 根据阅读材料,证明 平分 . (2) 用学过的知识或参考小明的方法,解决下面的问题: 如图 ,在 中,,,将 绕点 逆时针旋转得到 (点 的对应点为点 ),连接 ,,延长 交 于点 . ①找出图中与 相等的角,并加以证明. ②猜想线段 与 之间的数量关系(用含 的式子表示),并证明你的猜想. 如图,在矩形 中,,,将矩形 绕点 按顺时针方向旋转 角,得到矩形 , 与 交于点 , 的延长线与 交于点 . (1) 如图 ,当 时,连接 ,求 和 的长. (2) 如图 ,当矩形 的顶点 落在 的延长线上时,求 的长. (3) 如图 ,当 时,连接 ,,求证:. 如图,在矩形 中,,,点 , 分别在边 , 上,,连接 ,,动点 在 上从点 向终点 匀速运动,同时,动点 在射线 上从点 沿 方向匀速运动,当点 运动到 的中点时,点 恰好与点 重合,点 到达终点时,, 同时停止运动. (1) 求 的长. (2) 设 ,,求 关于 的函数表达式,并写出自变量 的取值范围. (3) 连接 ,当 与 的一边平行时,求 的长. 如图 , 中,,,.动点 从点 出发,在 边上以每秒 的速度向定点 运动,同时动点 从点 出发,在 边上以每秒 的速度向点 运动,运动时间为 秒 ,连接 . (1) 填空:用含 的代数式表示 ; (2) 若 与 相似,求 的值; (3) 如图 ,连接 ,,若 ,求 的值. 如图,已知在 中,,,,点 是斜边 上的动点,连接 ,作 ,交射线 于点 ,设 . (1) 当点 是边 的中点时,求线段 的长; (2) 当 是等腰三角形时,求 的值; (3) 如果 ,求 关于 的函数解析式,并写出它的定义域. 已知:正方形 ,等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点 处,使三角板绕点 旋转. (1) 当三角板旋转到图 的位置时,猜想 与 的数量关系,并加以证明; (2) 在()的条件下,若 ,求 的度数; (3) 若 ,点 是边 的中点,连接 , 与 交于点 ,当三角板的一边 与边 重合时(如图 ),若 ,求 的长. 如图,在矩形 中,,,点 是线段 上的一个动点且 ,点 在线段 上,且 为矩形;过点 作 ,分别交 , 于点 ,. (1) 求证:; (2) 当 时,求 的值. (3) 当矩形 的面积最小时,求 的值,并求出矩形 面积的最小值. 在矩形 的 边上取一点 ,将 沿 翻折,使点 恰好落在 边上点 处. (1) 如图 ,若 ,求 的度数. (2) 如图 ,当 ,且 时,求 的长. (3) 如图 ,延长 ,与 的角平分线交于点 , 交 于点 ,当 时,求 的值. 如图,己知 的直角边 与 的直角边 在同一条直线上,且 ,,,.现将点 与点 重合,再以 的速度沿 方向移动 ;同时,点 从点 出发,以 的速度沿 方向移动,设移动时间为 .以点 为圆心, 长为半径的 与 相交于点 ,.当点