1.3.1 线段的垂直平分线（1）（课件）-2022-2023学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

新课标 北师大版 八年级下册 1.3.1 线段的垂直平分线（1） 第一章 三角形的证明 学习目标 1.经历利用逻辑推理验证线段垂直平分线的性质及判定的过程，使学生理解逻辑证明的重要性。 2.利用线段垂直平分线的性质及判定解决实际问题，培养学生解决问题的能力。 2023/1/17 2 情境导入 （1）线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （2）什么叫线段的垂直平分线？ 2023/1/17 3 情境导入 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? P N M 点P是码头的位置 2023/1/17 4 探究新知 核心知识点一： 线段垂直平分线的性质 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 2023/1/17 5 探究新知 猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 2023/1/17 6 探究新知 已知：如图，直线MN⊥AB。垂足为C，且AC=BC，P是直线MN上任意一点。 求证：PA=PB 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90°， ∵AC=BC，PC=PC。 ∴△PCA≌△PCB（SAS） ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等） 思考： 当点P与点C重合时，上面结论成立吗？ 如果点P与点C重合，那么结论显然成立 2023/1/17 7 探究新知 归纳总结 线段垂直平分线的性质定理： P A B M C N 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 条件：点在线段的垂直平分线上； 结论：这个点到线段两端点的距离相等． 几何语言：∵MN⊥AB，AC＝BC，点P在MN上， ∴PA＝PB. 作用：可用来证明两线段相等． 2023/1/17 8 解：AB=AC=CE，AB+BD=DE. 理由如下： ∵AD⊥BC，BD=DC， ∴AB=AC. ∵点C在AE的垂直平分线上, ∴AC=CE. ∴AB=AC=CE，AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE. 探究新知 例：如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上, AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系? C B D A E 2023/1/17 9 探究新知 核心知识点二： 线段垂直平分线的判定 1.经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。 2. 思考：线段的垂直平分线有哪些判定方法？ （定义判定） 你能写出垂直平分线性质定理的逆命题吗？ ？ 性质定理的逆命题 ？ 2023/1/17 10 探究新知 性质定理（原命题）： 如果一个点是线段垂直平分线上的点，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等。 逆命题： 如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。 这个逆命题是真命题吗？你能证明它吗？ 2023/1/17 11 探究新知 已知：线段AB和点P，PA=PB， 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 证明：①若点P在线段AB上， 则点P为线段AB中点，结论显然成立. ②若点P不在AB上，取AB中点M，连接PM . ∵PA=PB，AM=BM， ∴PM⊥AB（等腰三角形三线合一）. 综上所述，原命题成立. 2023/1/17 12 探究新知 归纳总结 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 线段垂直平分线的判定定理： 条件：点到线段两端点距离相等； 结论：点在线段垂直平分线上． 几何语言：∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上． 作用：①作线段的垂直平分线的依据； ②可用来证线段垂直、相等． 2023/1/17 13 探究新知 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理：到一条条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 互为 逆定理 综上：线段的垂直平分线是到线段两个端点距离相等的所有点的集合. 2023/1/17 14 探究新知 例2：已知：如图△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一