2023年中考数学专题复习——锐角三角函数与圆的综合

2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合 一、综合题 1.如图,AB是的弦,点C是在过点B的切线上,且且交AB于点P. (1)求证: (2)若的半径为,求证:为等边三角形. 2.如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,与BA的延长线交于点D,DE⊥PO交PO延长线于点E,连接PB,∠EDB=∠EPB. (1)求证:PB是⊙O的切线. (2)若PB=3,tan∠PDB= ,求⊙O的半径. 3.如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于点A,连接BC交⊙O于点D,点E是 的中点,连接AE交BC于点F. (1)求证:AC=CF; (2)若AB=4,AC=3,求∠BAE的正切值. 4.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的半圆O交BC于点D,交AC于点E,点F为CE的中点,连接DF,DE,AD. (1)求证:CD=DE. (2)若OA=5,sin∠CAB= ,求DF的长. 5.如图,直线 与⊙O相切于点D,过圆心O作EF∥ 交⊙O于E、F两点,点A是⊙O上一点,连接AE,AF,并分别延长交直线 于B、C两点; (1)求证:∠ABC+∠ACB=90°; (2)若⊙O的半径 ,BD=12,求tan∠ACB的值. 6.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC交于点D,DE⊥AC,垂足为E,交AB的延长线于点F. (1)求证:EF是⊙O的切线; (2)若∠C=60°,AC=12,求 的长. (3)若tanC=2,AE=8,求BF的长. 7.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠CAB的平分线交⊙O于点D,过点D作BC的平行线分别交AC,AB的延长线于点E,F. (1)求证:EF是⊙O的切线; (2)设AC=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长; (3)若BF=2, ,求AD的长. 8.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点P是底边BC上一点且满足PA=PB,⊙O是△PAB的外接圆,过点P作PD∥AB交AC于点D. (1)求证:PD是⊙O的切线; (2)若BC=8,tan∠ABC= ,求⊙O的半径. 9.如图,为的直径,C为上一点,和过点C的切线互相垂直,垂足为D. (1)求证:平分; (2)若,,求的长. 10.如图,点C是以为直径的半圆O上一动点,作半径的垂直平分线交于点F,交于点E,交切线于点D. (1)判断的形状,并说明理由; (2)若的半径是2,,求的长. 11.如图,AC是⊙O的直径,BC,BD是⊙O的弦,M为BC的中点,OM与BD交于点F,过点D作,交BC的延长线于点E,且CD平分. (1)求证:DE是⊙O的切线; (2)若DE=12,,求BM的长. 12.如图,是的直径,,是的两条切线,切点分别为B,C.延长、相交于点D. (1)求证:; (2)设的半径为2,,求的长. 13.如图,是半圆的直径,半径,是延长线上任意一点,切半圆于点,连结,交于点. (1)求证:. (2)若,,求的长. 14.如图,已知是的直径,是的切线,切点为点.弦,直线、相交于点. (1)求证:直线是的切线; (2)若::,求的值. 15.如图,AB是⊙O的弦,C为⊙O上一点,过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D,连接BO并延长,与⊙O交于点E,连接EC,. (1)求证:CD是⊙O的切线; (2)若,,求AB的长. 16.如图,内接于,的直径与弦相交于点,,过点的切线交的延长线于点. (1)求证:BC//DF; (2)若,,求的长. 17.如图,已知△ABC的边AB是⊙O的切线,切点为E,AC经过圆心O并与圆相交于点F,CB交⊙O于D,连接CE,DE,EF,且DE=EF. (1)求证:AB⊥BC; (2)若BC=3, ,求AF的长. 18.如图,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AC于点D,点E在⊙O上,且,连接BE交AC于点F,已知BA=BF. (1)求证:AB是⊙O的切线; (2)若AF=6,,求⊙O的直径. 19.如图,已知AB是⊙O的直径,P是半径OB上一点,作弦交⊙O于点C,D,其中,.E是上一点,延长AE交CD的延长线于点F,延长BD交EF于点G,连结DE. (1)求证:. (2)连结BC,当四边形BCEG中有一组对边平行时,求DE的长. (3)当时,求的值. 20.如图,在中,,点O在上,,点D在上,以点O为圆心,为半径作圆,交的延长线于点E,交于点F,. (1)求证:为⊙O的切线; (2)若⊙O的半径为3,,求的长. 答案解析部分 1.【答案】(1)证明:.∵, ∴, ∴ ∵BC切于点B,OB为半径 ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴. (2)证明:如图,作于 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵, ∴ 是等边三角形. 【解析】【分析】(1)根据垂直的概念可得∠AOC=90°,根据切线的性质可得∠O