6.4.3余弦定理与正弦定理 第6课时 课件——2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

余弦定理与正弦定理 第6课时 创设情境 问题1　滑冰是一项集力量、耐力和速度于一身的运动项目．在2019年索菲亚短道速滑世锦赛上，有两个滑冰者甲和乙位于冰面上A、B两点，A与B相距100 m．如果甲从A出发，以8 m/s的速度沿着一条与AB成60°角的直线滑行，同时乙从B出发，以7 m/s的速度沿着与甲相遇的最短直线滑行．求相遇时，甲滑行了多远，需要采用什么方法呢？ 采用解三角形法的方法． 师生活动：学生思考，回答问题． 设计意图：通过提出实际问题，引入这一节要学习的内容——正弦定理、余弦定理的应用（6）．（版书） 2 新知探究 问题2　如图所示，直线a表示海平面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在点A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，监测点A，C分别在8 s和20 s后相继收到这一信号．在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s． 根据已知条件PA－PB＝1.5×8＝12，PC－PB＝1.5×20＝30， （详解参考教材P118例12解析） 由此解得PB＝x－12，PC＝18＋x，然后在△PAB中，利用余弦定理求x． 北 东 A B C P a 设PA＝x km，如何用x分别表示PB，PC，并求x的值？ 师生活动：学生思考，老师点拨． 设计意图：培养学生分析和归纳的能力． 3 新知探究 问题3　测量距离问题包括哪些情况？ 测量距离问题包括两种情况： （2）测量两个不可到达点之间的距离． （1）测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离． 师生活动：共同探讨，形成共识 设计意图：培养学生分析和归纳的能力． 4 新知探究 问题4　如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的什么方向？ 由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°， 因此灯塔A在灯塔B南偏西80°． 所以∠CBD＝30°，∠DBA＝10°， 2．测量角度 师生活动：学生思考，老师点拨． 5 新知探究 追问：测量角度问题的基本步骤是什么？ 找准观测点，并根据“上北下南，左 西右东”的原则确定正北方向 由题意正确地作出其他方位物的位置 示意图 分析图中的已知量和未知量，标出有 关角和线段的大小 定观测点及 正北方 作出被观测 方位物 标出有关量 师生活动：学生思考，老师点拨． 设计意图：培养学生分析和归纳的能力． 6 初步应用 例1　如图所示，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（－1）海里的B处有一艘走私船． 在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/时的速度 追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜． 问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间． 解：设缉私船应沿CD 方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则 CD＝t海里，BD＝10t海里． 得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝（－1）2＋22－2（－1）·2·cos 120°＝6， ∴BC＝海里． 在△ABC中，由余弦定理， ∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上， 又∵ ∴sin∠ABC＝ ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°． 师生活动：教师引导学生分析，结合图形将实际问题转化为解三角形问题，应用正、余弦定理求解． 设计意图：培养学生把求角的问题转化为解三角形的问题的基本方法． 7 初步应用 例1　如图所示，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（3－1）海里的B处有一艘走私船． 在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/时的速度 追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜． 问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶． 又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°， 在△BCD中，由正弦定理，得 ∴sin∠BCD＝ ∴D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝， ∴∠BCD＝30°， ∴t＝ 小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟． 师生活动：教师引导学生分析，结合图形将实际问题转化为解三角形问题，应用正、余弦定理求解． 设计意图：培养学生把求角的问题转化为解三角形的问题的基本方法． 8 初步应用 例2　如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°， 那么此时A，B两点间的距离是多少？ 解答：